التكامل بالتجزئة: مبرهنة التكامل بالتجزئة وكيفية اختيار الدالتين u وv وتطبيقات متدرجة على x e^x وln x وx sin x - السنة الثالثة ثانوي علمي

نعرف كيف نحسب تكامل ⁦∫ x² dx⁩ أو ⁦∫ e^x dx⁩ مباشرة بالدالة الأصلية. لكن ماذا نفعل أمام تكامل مثل ⁦∫ x e^x dx⁩ أو ⁦∫ ln x dx⁩؟ لا توجد دالة أصلية جاهزة في الجدول لهذه الجداءات. هنا يأتي التكامل بالتجزئة، وهو في رأي الأستاذ عبد الباسط أهم درس في وحدة الدوال الأصلية والحساب التكاملي على الإطلاق، لأنه يظهر في كل اختبار بكالوريا تقريبًا. تعرض هذه الصفحة الصيغة، ثم متى نستعملها، ثم كيف نختار الدالتين، ثم أمثلة متدرجة الصعوبة، وتنتهي بأخطاء شائعة وتمارين.

المبرهنة

لتكن ⁦u⁩ و ⁦v⁩ دالتين قابلتين للاشتقاق على مجال ⁦I⁩ ومشتقاهما ⁦u'⁩ و ⁦v'⁩ مستمران على ⁦I⁩. ولتكن ⁦a⁩ و ⁦b⁩ من ⁦I⁩. فإن:

⁦∫_a^b u(x) v'(x) dx = [u(x) v(x)]_a^b - ∫_a^b u'(x) v(x) dx⁩

البرهان المختصر

مشتق الجداء: ⁦(u v)' = u' v + u v'⁩. فبتكامل الطرفين من ⁦a⁩ إلى ⁦b⁩:

⁦[u v]_a^b = ∫_a^b u' v dx + ∫_a^b u v' dx⁩

ومنه الصيغة بنقل الحد الأول.

فكرة الطريقة

التكامل الأصلي ⁦∫ u v' dx⁩ صعب، ونعوضه بتكامل ⁦∫ u' v dx⁩ أبسط منه، بشرط أن نحسن اختيار الدالتين.

كيف نختار u و v'؟

القاعدة العملية: نختار ⁦u⁩ الدالة التي تبسط عند الاشتقاق، و ⁦v'⁩ الدالة التي نعرف دالتها الأصلية بسهولة.

فمثلًا الدالة ⁦x⁩ عند اشتقاقها تصبح ⁦1⁩ أبسط، و ⁦ln x⁩ عند اشتقاقها تصبح ⁦1 / x⁩ أبسط من اللوغاريتم نفسه.

أمثلة متدرجة

المثال 1: ⁦∫_0^1 x e^x dx⁩

نضع ⁦u(x) = x⁩ فـ ⁦u'(x) = 1⁩، و ⁦v'(x) = e^x⁩ فـ ⁦v(x) = e^x⁩.

⁦∫_0^1 x e^x dx = [x e^x]_0^1 - ∫_0^1 e^x dx = e - [e^x]_0^1 = e - (e - 1) = 1⁩.

المثال 2: ⁦∫_1^e ln x dx⁩

نكتب ⁦ln x = ln x × 1⁩. نضع ⁦u(x) = ln x⁩ فـ ⁦u'(x) = 1 / x⁩، و ⁦v'(x) = 1⁩ فـ ⁦v(x) = x⁩.

⁦∫_1^e ln x dx = [x ln x]_1^e - ∫_1^e (1 / x) · x dx = (e - 0) - ∫_1^e 1 dx = e - (e - 1) = 1⁩.

المثال 3: ⁦∫_0^π x sin x dx⁩

نضع ⁦u(x) = x⁩ فـ ⁦u'(x) = 1⁩، و ⁦v'(x) = sin x⁩ فـ ⁦v(x) = -cos x⁩.

⁦∫_0^π x sin x dx = [-x cos x]_0^π + ∫_0^π cos x dx = (π) + [sin x]_0^π = π + 0 = π⁩.

(لأن ⁦-π cos π = π⁩ و ⁦-0 · cos 0 = 0⁩.)

المثال 4: ⁦∫_0^(π/2) x cos x dx⁩

نضع ⁦u(x) = x⁩ و ⁦v'(x) = cos x⁩ فـ ⁦v(x) = sin x⁩.

⁦[x sin x]_0^(π/2) - ∫_0^(π/2) sin x dx = π / 2 - [-cos x]_0^(π/2) = π / 2 - 1⁩.

المثال 5: تطبيق مرتين: ⁦∫_0^1 x² e^x dx⁩

نضع ⁦u(x) = x²⁩ فـ ⁦u'(x) = 2x⁩، و ⁦v'(x) = e^x⁩.

⁦∫_0^1 x² e^x dx = [x² e^x]_0^1 - 2 ∫_0^1 x e^x dx = e - 2 × 1 = e - 2⁩

وقد استعملنا نتيجة المثال 1 التي تساوي ⁦1⁩. وهكذا إذا كان كثير الحدود من الدرجة ⁦n⁩ نكرر الطريقة ⁦n⁩ مرات.

تطبيق: إيجاد دالة أصلية

يمكن أيضًا استعمال الطريقة لإيجاد دالة أصلية: دالة أصلية لـ ⁦ln x⁩ على ⁦]0 ; +∞[⁩ هي ⁦x ln x - x⁩. للتحقق نشتق: ⁦ln x + x · (1 / x) - 1 = ln x⁩، وهي الدالة المطلوبة.

ملخص الخطوات

1. تعرف على الشكل: جداء دالتين مختلفتي النوع.
2. اختر ⁦u⁩ و ⁦v'⁩ وفق الجدول.
3. اشتق ⁦u⁩ وكامل ⁦v'⁩ (دالة أصلية واحدة تكفي، لا تضف ثابتًا).
4. طبق الصيغة وانتبه للإشارة السالبة.
5. احسب التكامل المتبقي.
6. تحقق من النتيجة إن أمكن.

أخطاء شائعة

• اختيار ⁦u⁩ و ⁦v'⁩ بشكل معكوس فيصبح التكامل أصعب. فتجنب أن تأخذ ⁦u = e^x⁩ و ⁦v' = x⁩ مثلًا.
• نسيان الإشارة السالبة قبل التكامل الثاني.
• إضافة ثابت التكامل ⁦c⁩ في التكامل المحدد (لا حاجة إليه).
• حساب ⁦[u v]_a^b⁩ بشكل خاطئ، كأن نعوض ⁦b⁩ فقط.
• نسيان التطبيق المتكرر عندما يكون كثير الحدود من الدرجة الثانية.
• عدم التبسيط بعد التعويض.

تمارين للتدرب

1. احسب ⁦∫_0^1 (x + 1) e^x dx⁩.
2. احسب ⁦∫_1^e x ln x dx⁩.

الحلول:

1. نضع ⁦u = x + 1⁩ و ⁦v' = e^x⁩: ⁦[(x + 1) e^x]_0^1 - ∫_0^1 e^x dx = 2e - 1 - (e - 1) = e⁩.
2. نضع ⁦u = ln x⁩ و ⁦v' = x⁩ فـ ⁦v = x² / 2⁩: ⁦[(x² / 2) ln x]_1^e - ∫_1^e (x / 2) dx = e² / 2 - [x² / 4]_1^e = e² / 2 - (e² / 4 - 1 / 4) = (e² + 1) / 4⁩.

الشرح المصوّر

لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ عبد الباسط في فيديو «الإبداع في شرح درس التكامل بالتجزئة مع جميع أفكاره، باك» هذا الدرس في نحو ثلاث وثلاثين دقيقة، وهو الدرس الرابع في وحدة الدوال الأصلية والحساب التكاملي، ويقول فيه إن التكامل بالتجزئة أهم درس فيها، ويطبقه على أربعة تكاملات متدرجة الصعوبة.