لماذا نتعلم إيجاد الدوال الأصلية؟ الهدف الأول هو الحساب التكاملي. فمن أهم تطبيقات الدالة الأصلية أن نحسب بها مساحة حيز يحده منحنى دالة. فالمساحة المحاطة بمنحنيات ليست شكلًا هندسيًا مألوفًا (مثلثًا أو مستطيلًا)، ولا ينفعنا فيها قانون مساحة جاهز، لكن التكامل يعطينا طريقة دقيقة. وهذا الدرس مدخل الحساب التكاملي في السنة الثالثة ثانوي للشعب العلمية، يبدأ بتعريف التكامل ثم خواصه ثم المساحات. وتتكرر تطبيقاته في كل اختبار بكالوريا. تعرض هذه الصفحة تعريف التكامل، ثم خواصه، ثم القيمة المتوسطة، ثم حساب المساحات، وتنتهي بأخطاء شائعة وتمارين محلولة.
تعريف التكامل
لتكن f دالة مستمرة على مجال I، ولتكن a و b من I، وليكن F أي دالة أصلية لـ f على I. تكامل f من a إلى b هو العدد:
∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
ونكتب أيضًا [F(x)]_a^b = F(b) - F(a).
والمهم أن هذا العدد لا يتعلق باختيار الدالة الأصلية: لو أخذنا F + c لوجدنا (F(b) + c) - (F(a) + c) = F(b) - F(a).
مثال: ∫_0^2 (3x² + 1) dx. دالة أصلية: x³ + x. إذن:
[x³ + x]_0^2 = (8 + 2) - 0 = 10.
الخواص
لتكن f و g دالتين مستمرتين على I، و a و b و c من I، و k عددًا حقيقيًا.
- خطية التكامل:
∫_a^b (f + g)(x) dx = ∫_a^b f(x) dx + ∫_a^b g(x) dx.∫_a^b k f(x) dx = k ∫_a^b f(x) dx.- علاقة شال:
∫_a^b f(x) dx + ∫_b^c f(x) dx = ∫_a^c f(x) dx. - عكس الحدود:
∫_b^a f(x) dx = -∫_a^b f(x) dx، و∫_a^a f(x) dx = 0. - الإشارة (الموجبية): إذا كانت
f(x) ≥ 0على[a ; b]وكانa ≤ bفإن∫_a^b f(x) dx ≥ 0. - المقارنة: إذا كان
f(x) ≤ g(x)على[a ; b]وكانa ≤ bفإن∫_a^b f(x) dx ≤ ∫_a^b g(x) dx.
الاستعمال
الخواص الأولى تسمح بتفكيك تكامل معقد إلى تكاملات أبسط. والخاصية الأخيرة تستعمل في التأطير: إذا أطرنا الدالة بين دالتين أمكننا تأطير تكاملها.
القيمة المتوسطة
لتكن f مستمرة على [a ; b] مع a < b. القيمة المتوسطة لـ f على [a ; b] هي العدد:
μ = (1 / (b - a)) ∫_a^b f(x) dx
مثال: القيمة المتوسطة للدالة f(x) = 2x على [0 ; 3] هي (1 / 3) · [x²]_0^3 = (1 / 3) · 9 = 3.
حساب المساحات
وحدة المساحة
نقيس المساحة بـ وحدة المساحة (و.م) وهي مساحة المستطيل الذي بعداه وحدتا المحورين، أي ‖i‖ × ‖j‖ في المعلم المتعامد. فإذا كان المعلم متعامدًا ومتجانسًا وطول الوحدة 2 cm فإن وحدة المساحة 4 cm².
المساحة تحت منحنى
لتكن f مستمرة على [a ; b] وموجبة. مساحة الحيز المحدد بالمنحنى (C_f) ومحور الفواصل والمستقيمين x = a و x = b هي:
A = ∫_a^b f(x) dx (بوحدات المساحة).
وإذا كانت f سالبة على [a ; b] فالمساحة هي A = -∫_a^b f(x) dx، أي ∫_a^b |f(x)| dx.
المساحة بين منحنيين
إذا كان f(x) ≥ g(x) على [a ; b]، فمساحة الحيز المحصور بين (C_f) و (C_g) والمستقيمين x = a و x = b هي:
A = ∫_a^b (f(x) - g(x)) dx.
مثال: احسب مساحة الحيز المحصور بين y = x و y = x² على [0 ; 1].
على [0 ; 1] لدينا x ≥ x². إذن:
A = ∫_0^1 (x - x²) dx = [x² / 2 - x³ / 3]_0^1 = 1 / 2 - 1 / 3 = 1 / 6 وحدة مساحة.
الخطوات العملية
- ارسم المنحنى أو ادرس إشارة
f(أوf - g) على المجال. - إذا تغيرت الإشارة قسم المجال عند الأعداد التي تنعدم عندها، وخذ القيمة المطلقة لكل جزء.
- احسب التكامل بالدالة الأصلية.
- اضرب في وحدة المساحة بالسنتيمتر المربع إن طلب ذلك.
أخطاء شائعة
- نسيان أن المساحة موجبة دائمًا، فإذا خرج التكامل سالبًا فالمساحة هي القيمة المطلقة.
- الخلط بين التكامل والمساحة، فالتكامل قد يكون سالبًا.
- نسيان وحدة المساحة.
- عكس الترتيب في الفرق
f - gفيخرج التكامل سالبًا. - تطبيق التعريف على دالة غير مستمرة على المجال.
- حساب المساحة تحت منحنى يعبر محور الفواصل دون تقسيم المجال.
تمارين للتدرب
- احسب
∫_1^3 (2x + 1) dx. - احسب مساحة الحيز المحدد بمنحنى
f(x) = x²ومحور الفواصل والمستقيمينx = 0وx = 3. - احسب القيمة المتوسطة لـ
f(x) = x²على[0 ; 3].
الحلول:
[x² + x]_1^3 = (9 + 3) - (1 + 1) = 10.A = ∫_0^3 x² dx = [x³ / 3]_0^3 = 9وحدة مساحة.μ = (1 / 3) · 9 = 3.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ في قناة «اللاز في الرياضيات والفيزياء» في فيديو «درس الحساب التكاملي وحساب المساحات: المفهوم والخواص الخطية» هذا الدرس في نحو تسع عشرة دقيقة، بعد أن أنهى كيفية إيجاد الدوال الأصلية وتمارينها، ويبين الغرض من دراستها وهو الحساب التكاملي.