كثير من الظواهر في حياتنا تتغير بسرعة تتناسب مع مقدارها الحالي: تفكك النواة المشعة، وشحن مكثفة، وتبريد فنجان قهوة. والرياضيات تصف هذه الظواهر بمعادلات تفاضلية، أي معادلات مجهولها دالة وتحوي مشتقها. وهي درس جديد دخل الباكالوريا في السنوات الأخيرة لشعب العلوم التجريبية والرياضيات والتقني رياضي، ويطلب فيه عادة حل معادلة بسيطة ثم تطبيقها على مسألة فيزيائية. تعرض هذه الصفحة تعريف المعادلة التفاضلية، ثم حل y' = a y، ثم حل y' = a y + b، ثم الشرط الابتدائي، ثم تطبيقات، وتنتهي بأخطاء متكررة وتمارين محلولة.
ما المعادلة التفاضلية؟
المعادلة التفاضلية معادلة مجهولها دالة y قابلة للاشتقاق على ℝ، وتربط بين y ومشتقها y'. وحلّها كل دالة تحققها. وفي هذا المستوى نتعامل مع المعادلات من الشكل:
y' = a y + b
حيث a وb عددان حقيقيان ثابتان وa ≠ 0.
الحالة 1: المعادلة y' = a y
حلول المعادلة y' = a y هي كل الدوال من الشكل:
y(x) = C × e^(a x)
حيث C ثابت حقيقي اختياري. وللتحقق: نشتق فنجد y'(x) = C × a × e^(a x) = a × y(x).
مثال 1: y' = 2y. الحلول: y(x) = C × e^(2x).
مثال 2: y' + 3y = 0 أي y' = −3y. الحلول: y(x) = C × e^(−3x).
الحالة 2: المعادلة y' = a y + b
نبحث أولًا عن حل خاص ثابت y = k: بما أن مشتق الثابت 0 فنحتاج 0 = a k + b، أي k = −b ÷ a. ثم نستنتج أن الحلول العامة:
y(x) = C × e^(a x) − b ÷ a
أي حل المعادلة المتجانسة (C × e^(a x)) زائد حل خاص (−b ÷ a).
مثال 3: حل المعادلة y' = −3y + 6. هنا a = −3 وb = 6، والحل الخاص الثابت −b ÷ a = −6 ÷ (−3) = 2. إذن:
y(x) = C × e^(−3x) + 2.
مثال 4: حل المعادلة 3y' − 2y + 1 = 0. نكتبها y' = (2 ÷ 3) y − 1 ÷ 3، فـ a = 2 ÷ 3 وb = −1 ÷ 3. الحل الخاص −b ÷ a = (1 ÷ 3) ÷ (2 ÷ 3) = 1 ÷ 2. إذن:
y(x) = C × e^(2x ÷ 3) + 1 ÷ 2.
ولاحظ أنه يجب دائمًا تحويل المعادلة إلى الشكل y' = a y + b قبل قراءة a وb.
الشرط الابتدائي
الحلول السابقة تحوي ثابتًا C يختلف بين حل وآخر. فإذا أعطينا شرطًا ابتدائيًا y(x₀) = y₀ تعين C ووجد حل وحيد.
مثال 5: حل y' = −3y + 6 مع الشرط y(0) = 5.
الحل العام y(x) = C × e^(−3x) + 2. من الشرط: y(0) = C + 2 = 5 فـ C = 3. إذن:
y(x) = 3 × e^(−3x) + 2.
التحقق: y'(x) = −9 × e^(−3x) و−3 × y(x) + 6 = −9 × e^(−3x) − 6 + 6 = −9 × e^(−3x). وهما متساويان.
تطبيقات
التفكك الإشعاعي
عدد الأنوية المشعة N(t) يتناقص بسرعة تتناسب مع عددها: N' = −λ N، حيث λ > 0 ثابت النشاط الإشعاعي. فالحلول N(t) = N₀ × e^(−λ t) مع N(0) = N₀ عدد الأنوية الابتدائي.
التبريد
درجة حرارة جسم يبرد في وسط حرارته T_e تحقق T' = −k (T − T_e) أي T' = −k T + k T_e، وهي من الشكل y' = a y + b. والحل T(t) = T_e + (T₀ − T_e) × e^(−k t).
الدارة الكهربائية
شحن مكثفة في دارة RC يعطي معادلة من الشكل نفسه، وحلها يفسر ثابت الزمن.
معادلات من الرتبة الثانية (للتوسع)
في بعض الشعب يضاف إلى هذا الدرس المعادلة y'' + ω² y = 0 وحلولها y(x) = A × cos(ω x) + B × sin(ω x). أما لشعبة العلوم التجريبية فالأساس هو معادلات الرتبة الأولى كما سبق.
أخطاء شائعة
- نسيان تحويل المعادلة إلى الشكل
y' = a y + bقبل قراءة المعاملين. - كتابة الحل الخاص
b ÷ aبدل−b ÷ a. - نسيان الثابت
Cعند إعطاء الحل العام. - إدخال الشرط الابتدائي قبل كتابة الحل العام.
- الخطأ في إشارة
aفنقلب النمو إلى تناقص. - عدم التحقق من الحل بالاشتقاق.
تمارين للتدرب
- حل
y' = 5y. - حل
y' = 4y − 8ثم عيّن الحل الذي يحققy(0) = 3. - حل
2y' + y = 4. - تتفكك عينة بثابت
λ = 0.1وعدد أنويتها الابتدائيN₀ = 1000. اكتبN(t).
الحلول:
y(x) = C × e^(5x).a = 4وb = −8، فالحل الخاص−b ÷ a = 2، والحل العامy(x) = C × e^(4x) + 2. منy(0) = C + 2 = 3نجدC = 1، ومنهy(x) = e^(4x) + 2.y' = −(1 ÷ 2) y + 2، فـa = −1 ÷ 2وb = 2والحل الخاص−b ÷ a = 4. إذنy(x) = C × e^(−x ÷ 2) + 4.N(t) = 1000 × e^(−0.1 t).
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ نور الدين في فيديو «درس المعادلات التفاضلية مع تطبيقات للثالثة ثانوي، باك 2026» الدرس في نحو ثلاث وثلاثين دقيقة لتلاميذ العلوم التجريبية والتقني رياضي والرياضيات، موضحًا أن هذا الدرس أصبح يرد في البكالوريا، ويبدأ بحلول المعادلة التفاضلية وهي الدوال من الشكل C e^(ax)، ثم أمثلة تحل بنقل الحدود وقسمة المعاملات.