تظهر الدالة الأسية كثيرًا في مواضيع البكالوريا للشعب العلمية، وغالبًا تحتل جزءًا كاملًا من التمرين الأول أو من المسألة. ومع ذلك فهي أبسط مما تبدو حين تفهم ثلاثة أشياء: ما معناها، وما القواعد التي تحكم حساباتها، وكيف تتصرف نهاياتها. ستجد الدرس هنا مرتبًا على هذا النحو، مع أمثلة محلولة وأخطاء يقع فيها التلاميذ كثيرًا وتمارين تتدرب عليها في آخر الصفحة.
ما معنى الدالة الأسية؟
الدالة الأسية هي الدالة الوحيدة f القابلة للاشتقاق على ℝ التي تساوي مشتقتها، أي f' = f، وتأخذ القيمة 1 عند الصفر، أي f(0) = 1. نرمز لها بـ exp ونكتب exp(x) = e^x، وهي معرّفة على ℝ كلها، حيث e = exp(1) ≈ 2.718. ويأتي بعدها في البرنامج اللوغاريتم النيبيري بوصفه دالتها العكسية، والعلاقة بينهما هي التي تحل أغلب المعادلات لاحقًا، فاحفظها جيدًا:
e^x = yتكافئx = ln yبشرطy > 0.ln(e^x) = xمهما كان العدد الحقيقيx.e^(ln x) = xمن أجل كلx > 0.
وهناك قيمتان تُحفظان من البداية: e^0 = 1 و e^1 = e. أما الخاصية التي ستعود إليها في كل تمرين تقريبًا فهي أن e^x > 0 من أجل كل عدد حقيقي x. الدالة الأسية لا تنعدم ولا تأخذ قيمًا سالبة أبدًا.
قواعد الحساب
تتبع الدالة الأسية قواعد القوى التي عرفتها في السنوات السابقة. من أجل عددين حقيقيين a و b وعدد صحيح n:
e^(a+b) = e^a × e^be^(a−b) = e^a / e^be^(−a) = 1 / e^a(e^a)^n = e^(n×a)
المفتاح هنا أن المجموع في الأس يتحول إلى جداء، والفرق إلى قسمة. ومن هذه القواعد تنتج علاقة مفيدة جدًا في التبسيط: e^x × e^(−x) = 1.
حل المعادلات والمتراجحات
الدالة الأسية متزايدة تمامًا على ℝ، وهذا ما يسمح بالانتقال من الأسس إلى المقارنة المباشرة:
e^a = e^bتكافئa = b.e^a < e^bتكافئa < b، أي أن اتجاه المتراجحة لا يتغير.- المعادلة
e^x = k: إن كانk > 0فحلهاx = ln k، وإن كانk ≤ 0فلا حل لها.
مثال أول. لحل e^(2x−1) > e^3 نكتب 2x − 1 > 3 فنجد x > 2.
مثال ثان. لحل e^(2x) − 3e^x + 2 = 0 نضع t = e^x مع التذكير بأن t > 0. تصبح المعادلة t² − 3t + 2 = 0 أي (t − 1)(t − 2) = 0، ومنه t = 1 أو t = 2. نعود إلى x فنجد x = ln 1 = 0 أو x = ln 2. الحلان مقبولان لأن قيمتي t موجبتان.
مثال ثالث. المعادلة e^x = −3 لا تقبل حلًا، لأن طرفها الثاني سالب والدالة الأسية موجبة دائمًا.
الاشتقاق
مشتقة الدالة الأسية هي نفسها: (e^x)' = e^x، وهذه الخاصية هي أصل تعريفها. وإذا كان الأس دالة u فإن (e^u)' = u' × e^u. مثلًا مشتقة f(x) = e^(2x−1) هي f'(x) = 2e^(2x−1). وبالاتجاه المعاكس، الدالة e^u دالة أصلية للدالة u' × e^u، وهذا ما تحتاج إليه في حساب التكامل.
ولأن e^x موجبة دائمًا، فإشارة المشتقة تتبع إشارة العامل الذي يرافقها. هذه الملاحظة تختصر نصف العمل في جدول التغيرات.
النهايات المهمة
هذه النهايات أساس دراسة أي دالة تحتوي على e^x، ويحسن حفظها مع معناها:
lim (x→−∞) e^x = 0lim (x→+∞) e^x = +∞lim (x→+∞) e^x / x = +∞lim (x→−∞) x × e^x = 0lim (x→0) (e^x − 1) / x = 1
النهايتان الثالثة والرابعة تقولان إن الدالة الأسية «تغلب» الدالة x: عند +∞ يكبر e^x أسرع بكثير من x، وعند −∞ يصغر e^x إلى الصفر بسرعة تكفي لحسم الصورة غير المعينة x × e^x لصالح 0. وتبقى الصيغة نفسها صحيحة مع كل قوة x^n. أما النهاية الأخيرة فهي العدد المشتق للدالة الأسية عند 0، وقيمته 1.
وينتج عن ذلك رسم واضح للمنحنى: يقترب من محور الفواصل عند −∞ دون أن يلمسه، ويمر بالنقطة (0 ; 1)، ويقع دائمًا فوق مماسه عند هذه النقطة، أي e^x ≥ x + 1 مهما كان x.
مثال متكامل: دراسة دالة
لندرس الدالة f(x) = (x − 1) × e^x على ℝ.
- النهايات. عند
+∞يؤول العاملانx − 1وe^xإلى+∞، فالنهاية+∞. عند−∞نكتبf(x) = x × e^x − e^x، وكل حد يؤول إلى 0، فالنهاية 0، والمستقيمy = 0مقارب أفقي بجوار−∞. - المشتقة.
f'(x) = e^x + (x − 1) × e^x = x × e^x. بما أنe^x > 0فإشارةf'(x)هي إشارةx: سالبة قبل 0 وموجبة بعده. - التغيرات. الدالة متناقصة تمامًا على
]−∞ ; 0]إلى أن تبلغ−1، ثم متزايدة تمامًا على[0 ; +∞[من−1إلى+∞. قيمتها الصغرىf(0) = −1، وهي تنعدم عندx = 1.
أخطاء شائعة
- كتابة
e^(a+b) = e^a + e^b. الصحيح أن المجموع في الأس يعطي جداء:e^a × e^b. - نسيان معامل الأس عند الاشتقاق: مشتقة
e^(2x)هي2e^(2x)وليستe^(2x). - حل
e^x = −3بالكتابةx = ln(−3). اللوغاريتم غير معرّف على الأعداد السالبة، فالمعادلة لا حل لها. - التوقف عند الصورة غير المعينة
x × e^xحين يؤولxإلى−∞. استعمل النهاية المعروفة التي تساوي 0 ولا تترك السؤال. - الغفلة عن أن
e^xموجب، فتُحسب إشارة المشتقة خطأ. اعزل العاملe^xأولًا ثم ادرس إشارة ما تبقى.
تمارين للتدرب
جرّب هذه التمارين قبل أن تنظر إلى الحلول:
- بسّط
e^(3x) × e^(−x) / e^x. - حل في ℝ المعادلة
e^(x+1) = e^(2x−3). - حل في ℝ المتراجحة
e^x < 1 / e. - احسب مشتقة
g(x) = (2x + 1) × e^(−x). - احسب
lim (x→+∞) (e^x − x).
الحلول:
e^(3x−x−x) = e^x.x + 1 = 2x − 3ومنهx = 4.1 / e = e^(−1)فتصبح المتراجحةe^x < e^(−1)أيx < −1.g'(x) = 2e^(−x) − (2x + 1) × e^(−x) = (1 − 2x) × e^(−x).- نكتب
e^x − x = x × (e^x / x − 1)، والقوس يؤول إلى+∞فالنهاية+∞.
الشرح المصوّر وملفات التمارين
لمن يفضل المراجعة بالصوت والصورة، يمر فيديو «ملخص شامل في الدوال الأسية بالتفصيل» من قناة amine prof math في نحو اثنتي عشرة دقيقة يلخص الخصائص الأساسية للدالة الأسية: القيمتين e^0 و e^1، وقاعدة e^x × e^(−x) = 1، ثم المعادلات والمتراجحات والنهايات والتزايد المقارن.
وللتطبيق على مواضيع حقيقية، اطلع على ملفات التمارين المحلولة في الموقع: