بعد أن تعلمت في الدروس السابقة من وحدة المتتاليات العددية كيف تعرف متتالية وتدرس اتجاه تغيرها وتتعرف على الحسابية والهندسية، تصل إلى سؤال جوهري: ماذا يحدث للحدود uₙ عندما يكبر n كثيرًا؟ هل تقترب من عدد معين؟ أم تكبر دون حد؟ أم تتذبذب؟ هذا هو درس نهاية متتالية وتقاربها، وهو من أبسط دروس الوحدة بشرط إتقان النهايات التي درستها للدوال. تعرض هذه الصفحة معنى النهاية وأنواعها، ثم نهايات المتتاليات المرجعية، ثم قواعد حسابها، ثم المبرهنات الثلاث الأساسية، ثم مثالًا كاملًا بمتتالية تراجعية، وتنتهي بأخطاء متكررة وتمارين محلولة.
معنى النهاية
نهاية المتتالية (uₙ) عند +∞ وحيدة إن وجدت، لأن المتتالية معرفة على مجموعة الأعداد الطبيعية. ولها ثلاث حالات:
- نهاية منتهية
ℓ: الحدود تقترب من العددℓ. نقول إن المتتالية متقاربة. - نهاية غير منتهية
+∞أو−∞: الحدود تكبر أو تصغر دون حد. نقول إنها متباعدة. - لا نهاية: تتذبذب الحدود، مثل
(−1)ⁿ. نقول أيضًا إنها متباعدة.
أي أن المتتالية متقاربة إذا كانت نهايتها عددًا حقيقيًا، وكل ما عدا ذلك متباعد.
نهايات المتتاليات المرجعية
| المتتالية | النهاية عند +∞ |
|---|---|
n وn² وn³ و√n |
+∞ |
1/n و1/n² و1/√n |
0 |
qⁿ مع q > 1 |
+∞ |
qⁿ مع −1 < q < 1 |
0 |
qⁿ مع q ≤ −1 |
لا نهاية |
1ⁿ |
1 |
وإذا كان uₙ = f(n) حيث f دالة لها نهاية عند +∞، فإن نهاية المتتالية هي نهاية الدالة نفسها.
مثال: uₙ = (2n + 1) ÷ (n + 3). بإخراج n عاملًا من البسط والمقام: uₙ = (2 + 1/n) ÷ (1 + 3/n) وهي تؤول إلى 2 ÷ 1 = 2. فالمتتالية متقاربة نحو 2.
عمليات النهايات
مجموع وجداء وحاصل قسمة متتاليتين لهما نهايتان يخضع للقواعد نفسها المعروفة للدوال. وتبقى حالات عدم التعيين التي تتطلب معالجة:
∞ − ∞ و0 × ∞ و∞ ÷ ∞ و0 ÷ 0.
مثال: wₙ = n² − n. التعويض يعطي ∞ − ∞. نخرج n²: wₙ = n² × (1 − 1/n) وهي تؤول إلى +∞ × 1 = +∞.
المبرهنات الأساسية
- مبرهنة المقارنة: إذا كان
uₙ ≤ vₙمن أجلnكبير، وكانتuₙتؤول إلى+∞، فإنvₙتؤول إلى+∞. وإذا كانتvₙتؤول إلى−∞فإنuₙتؤول إلى−∞. - مبرهنة الحصر (الشرطي): إذا كان
uₙ ≤ vₙ ≤ wₙوكانتuₙوwₙتؤولان إلى النهايةℓنفسها، فإنvₙتؤول إلىℓ. - المتتالية الرتيبة المحدودة:
- كل متتالية متزايدة ومحدودة من الأعلى متقاربة.
- كل متتالية متناقصة ومحدودة من الأسفل متقاربة.
- لكن المبرهنة تضمن وجود النهاية ولا تعطي قيمتها.
مثال كامل: متتالية تراجعية
نعتبر المتتالية (uₙ) المعرفة بـ u₀ = 0 وuₙ₊₁ = uₙ ÷ 2 + 3.
1) نبين بالتراجع أن uₙ ≤ 6:
u₀ = 0 ≤ 6.- إذا كان
uₙ ≤ 6فإنuₙ ÷ 2 + 3 ≤ 3 + 3 = 6، أيuₙ₊₁ ≤ 6. فالخاصية وراثية، وهي صحيحة من أجل كلn.
2) نبين أنها متزايدة: uₙ₊₁ − uₙ = 3 − uₙ ÷ 2 ≥ 3 − 3 = 0 لأن uₙ ≤ 6. فالمتتالية متزايدة.
3) نستنتج أنها متقاربة: متزايدة ومحدودة من الأعلى بـ 6، فهي متقاربة نحو نهاية ℓ.
4) نحسب النهاية: بتمرير العلاقة التراجعية إلى النهاية، تحقق ℓ المعادلة ℓ = ℓ ÷ 2 + 3، ومنه ℓ ÷ 2 = 3 أي ℓ = 6.
وهذه الطريقة (حساب ℓ من المعادلة f(ℓ) = ℓ) صالحة بعد التأكد من أن المتتالية متقاربة، وأن الدالة f مستمرة.
متتالية هندسية
إذا كان uₙ = u₀ × qⁿ فنتائج النهاية تتبع قيمة q كما في الجدول: متقاربة إلى 0 إذا كان |q| < 1، ومتباعدة نحو ±∞ إذا كان q > 1 بحسب إشارة u₀، وبدون نهاية إذا كان q ≤ −1.
أخطاء شائعة
- القول إن المتتالية المحدودة متقاربة دائمًا. المطلوب أن تكون رتيبة ومحدودة.
- حساب
ℓمن المعادلة قبل إثبات أن المتتالية متقاربة. - الخلط بين المتقاربة (نهاية عدد) والمتباعدة (نهاية
∞أو لا نهاية). - اعتبار
(−1)ⁿمتقاربة نحو−1أو1، وهي بلا نهاية. - ترك حالة عدم التعيين دون معالجة.
- نسيان كتابة الشرط المعتمد عند تطبيق مبرهنة المقارنة.
تمارين للتدرب
- احسب نهاية
uₙ = (3n² + 1) ÷ (n² + n). - احسب نهاية
vₙ = (1/3)ⁿ. - احسب نهاية
wₙ = n − √n. - بيّن أن
(−1)ⁿ ÷ nتؤول إلى0(استعمل الحصر).
الحلول:
- بقسمة البسط والمقام على
n²:(3 + 1/n²) ÷ (1 + 1/n)تؤول إلى3. 0لأن0 < 1/3 < 1.n × (1 − 1/√n)تؤول إلى+∞.−1/n ≤ (−1)ⁿ/n ≤ 1/nوطرفاها يؤولان إلى0، فبالحصر النهاية0.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يشرح الأستاذ عبد الباسط في فيديو «نهاية متتالية وتقاربها» الدرس السابع من وحدة المتتاليات في نحو خمس وعشرين دقيقة، فيوضح كيف تحسب النهاية في جميع الحالات، ومعنى المتتالية المتقاربة والمتباعدة، ثم يطبق على تمرين من البكالوريا ويضيف سؤالًا إضافيًا.
وللتدرب على المتتاليات، اطلع على هذه الملفات في الموقع: