الدالة اللوغاريتمية النيبيرية ln من أهم دوال برنامج السنة الثالثة ثانوي، وأول ما يسأل عنه فيها في الفروض والبكالوريا هو حساب النهايات. وتحتاج لذلك إلى مجموعة صغيرة من النهايات الشهيرة تحفظها وتعرف متى تستعملها، ثم تتقن طريقة التخلص من حالات عدم التعيين. والخبر الجيد أن هذه النهايات أربع أو خمس فقط، وأن طرق استعمالها ثابتة. تعرض هذه الصفحة النهايات الشهيرة وتفسيرها، ثم قواعد التركيب، ثم الطرق المتبعة في رفع حالات عدم التعيين مع أمثلة، ثم المستقيمات المقاربة، وتنتهي بأخطاء شائعة وتمارين محلولة. ويقتصر هذا الدرس على المستوى المشترك بين الشعب العلمية.
تذكير: خواص الدالة اللوغاريتمية
lnمعرفة على المجال]0 ; +∞[.- متزايدة تمامًا على مجال تعريفها.
ln 1 = 0وln e = 1.ln(a × b) = ln a + ln bوln(a ÷ b) = ln a − ln bوln(aⁿ) = n × ln a.
النهايات الشهيرة
هذه هي النهايات المقررة، وهدفها التخلص من حالات عدم التعيين:
lim ln x = +∞عندماxيؤول إلى+∞.lim ln x = −∞عندماxيؤول إلى0بقيم أكبر من0.lim (ln x) ÷ x = 0عندماxيؤول إلى+∞.lim x × ln x = 0عندماxيؤول إلى0بقيم أكبر من0.lim ln(1 + x) ÷ x = 1عندماxيؤول إلى0.
المعنى: الدالة ln تنمو نحو +∞ لكن بطء أكبر من أي دالة قوة. فالنهاية الثالثة تقول إن x تتفوق على ln x عند اللانهاية، والنهاية الرابعة تقول إن x تتغلب على ln x عند 0 فيكون الجداء x × ln x صفرًا.
وتعميم مفيد: من أجل كل عدد طبيعي n ≥ 1، lim (ln x) ÷ xⁿ = 0 عند +∞، وlim xⁿ × ln x = 0 عند 0 من اليمين.
نهاية ln لدالة مركبة
إذا كان u(x) يؤول إلى l عند نقطة، فإن:
- إذا كان
lعددًا موجبًا تمامًا فـln(u(x))يؤول إلىln l. - إذا كان
l = +∞فـln(u(x))يؤول إلى+∞. - إذا كان
u(x)يؤول إلى0بقيم موجبة فـln(u(x))يؤول إلى−∞.
طرق رفع حالات عدم التعيين
حالات عدم التعيين هي ∞ − ∞ و0 × ∞ و∞ ÷ ∞ و0 ÷ 0. وأهم الطرق:
الطريقة 1: إخراج العامل الأكبر
مثال 1: احسب lim (x − ln x) عند +∞.
التعويض المباشر يعطي +∞ − ∞ وهي حالة عدم تعيين. نخرج x عاملًا مشتركًا:
x − ln x = x × (1 − (ln x) ÷ x)
وبما أن (ln x) ÷ x يؤول إلى 0، فإن 1 − (ln x) ÷ x يؤول إلى 1. فالنهاية +∞ × 1 = +∞.
الطريقة 2: توظيف النهاية الشهيرة بتغيير المتغير
مثال 2: احسب lim ln(1 + 3x) ÷ x عند 0.
نضرب ونقسم على 3: ln(1 + 3x) ÷ x = 3 × [ln(1 + 3x) ÷ (3x)]. نضع u = 3x، فعندما x يؤول إلى 0 يؤول u إلى 0 وln(1 + u) ÷ u يؤول إلى 1. فالنهاية 3 × 1 = 3.
الطريقة 3: جداء بقوة
مثال 3: احسب lim x² × ln x عند 0 من اليمين.
نكتب x² × ln x = x × (x × ln x). وبما أن x × ln x يؤول إلى 0 وx يؤول إلى 0، فالنهاية 0.
الطريقة 4: التبسيط باللوغاريتم
مثال 4: احسب lim ln(x² + 1) ÷ x عند +∞.
نكتب x² + 1 = x² × (1 + 1 ÷ x²)، ومنه ln(x² + 1) = 2 × ln x + ln(1 + 1 ÷ x²). نقسم على x: 2 × (ln x) ÷ x + ln(1 + 1 ÷ x²) ÷ x. الحد الأول يؤول إلى 0، والثاني كذلك لأن البسط يؤول إلى ln 1 = 0. فالنهاية 0.
المستقيمات المقاربة
- من
lim ln x = −∞عند0من اليمين نستنتج أن المستقيمx = 0(محور التراتيب) مستقيم مقارب عمودي لمنحنىln. - من
lim (ln x) ÷ x = 0عند+∞نستنتج أن للمنحنى فرعًا مكافئًا في اتجاه محور الفواصل، وليس له مستقيم مقارب مائل.
أخطاء شائعة
- القول إن
lim ln x = 0عند+∞. هي+∞. - القول إن
lim x × ln x = −∞عند0، وهو0(حالة عدم تعيين تحل بالنهاية الشهيرة). - ترك حالة عدم التعيين دون معالجة والكتابة مباشرة
∞ − ∞ = 0. - نسيان شرط الموجب تمامًا داخل اللوغاريتم عند التركيب.
- الخلط بين
lim ln(1 + x) ÷ xعند0(وتساوي1) وlim (ln x) ÷ xعند+∞(وتساوي0). - استعمال
ln(a + b) = ln a + ln b، وهي علاقة خاطئة.
تمارين للتدرب
احسب النهايات التالية:
lim (ln x) ÷ x²عند+∞.lim (x − 3 × ln x)عند+∞.lim ln(1 + 5x) ÷ xعند0.lim ln(x) ÷ (x − 1)عند1.lim x × ln x − xعند0من اليمين.
الحلول:
(ln x) ÷ x² = ((ln x) ÷ x) × (1 ÷ x)يؤول إلى0 × 0 = 0.x × (1 − 3 × (ln x) ÷ x)يؤول إلى+∞ × 1 = +∞.5 × [ln(1 + 5x) ÷ (5x)]يؤول إلى5.- نضع
x = 1 + hفتصبحln(1 + h) ÷ hوالنهاية1. x × ln xيؤول إلى0وxيؤول إلى0، فالنهاية0.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يشرح الأستاذ عبد الباسط في فيديو «لن تصدق أنك ستصير تحسب نهايات الدوال اللوغاريتمية بهذه السهولة، باكلوريا جميع الشعب العلمية» هذا الدرس في نحو اثنتين وثلاثين دقيقة، موضحًا أنه مشترك بين الرياضيات والتقني رياضي والعلوم التجريبية، وأن الغاية من النهايات الشهيرة هي التخلص من حالات عدم التعيين، قبل أن يحل أمثلة وتطبيقات.
وللتدرب على تمارين الدوال اللوغاريتمية، اطلع على هذه الملفات في الموقع: