ترمي قطعة نقود مرتين وتسأل: كم مرة سيظهر الوجه؟ تسحب كرات من كيس وتسأل: كم كرة بيضاء سأسحب؟ تلعب لعبة ربح وخسارة وتسأل: كم أتوقع أن أربح في المتوسط؟ في كل هذه الأسئلة نربط كل نتيجة من نتائج التجربة العشوائية بعدد حقيقي. هذا الارتباط هو المتغير العشوائي. وهو من أهم دروس وحدة الاحتمالات في السنة الثالثة ثانوي، ويستحيل أن يخلو منه تمرين احتمالات في البكالوريا. وقد رأى التلميذ بعض مفاهيمه في السنة الثانية. تعرض هذه الصفحة تعريف المتغير العشوائي، ثم قانون احتماله، ثم الأمل الرياضياتي، ثم التباين والانحراف المعياري، ثم لعبة عادلة، ثم تمرينًا من البكالوريا، وتنتهي بأخطاء شائعة وتمارين.
تعريف المتغير العشوائي
لتكن Ω مجموعة النتائج الممكنة لتجربة عشوائية. المتغير العشوائي X على Ω هو دالة تربط كل نتيجة بعدد حقيقي. وقيمه الممكنة نرمز لها x_1 و x_2 ... x_k.
مثال: نرمي قطعة نقود متوازنة مرتين، و X عدد مرات ظهور «الوجه». النتائج الممكنة:
PP(وجهان):X = 2.PFأوFP:X = 1.FF:X = 0.
فالقيم الممكنة للمتغير العشوائي هي 0 و 1 و 2.
قانون احتمال المتغير العشوائي
نعرف قانون احتماله بإعطاء الاحتمال p_i = P(X = x_i) لكل قيمة x_i، وغالبًا نلخصه في جدول:
x_i |
0 |
1 |
2 |
|---|---|---|---|
p_i |
1 / 4 |
1 / 2 |
1 / 4 |
شرط أساسي: مجموع الاحتمالات يساوي 1، وهذا ما نتحقق منه عند كل جدول: 1 / 4 + 1 / 2 + 1 / 4 = 1.
دالة التوزيع
دالة التوزيع للمتغير العشوائي هي F(x) = P(X ≤ x). وتساعد في حساب احتمالات من نوع P(X ≤ 1): هنا P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 3 / 4.
الأمل الرياضياتي
الأمل الرياضياتي E(X) هو متوسط القيم المتوقعة للمتغير العشوائي عند تكرار التجربة مرات كثيرة، ويحسب كمجموع قيم المتغير مضروبة في احتمالاتها:
E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + ... + x_k p_k
في المثال: E(X) = 0 × 1/4 + 1 × 1/2 + 2 × 1/4 = 1.
أي أن المتوقع في المتوسط ظهور الوجه مرة واحدة في رميتين.
التباين والانحراف المعياري
نقيس تشتت القيم حول الأمل الرياضياتي بالتباين:
V(X) = E(X²) - [E(X)]²
حيث E(X²) = x_1² p_1 + x_2² p_2 + ... + x_k² p_k.
في المثال: E(X²) = 0 × 1/4 + 1 × 1/2 + 4 × 1/4 = 3/2، فـ V(X) = 3/2 - 1 = 1/2.
الانحراف المعياري: σ(X) = √V(X)، وفي المثال σ(X) = √(1/2) ≈ 0.71.
اللعبة العادلة
نقول إن لعبة عادلة إذا كان الأمل الرياضياتي للربح معدومًا، E(X) = 0، أي لا يربح اللاعب ولا يخسر في المتوسط. وإذا كان موجبًا فاللعبة في صالح اللاعب، وإذا كان سالبًا فهي في صالح منظمها.
مثال: يرمي لاعب نردًا متوازنًا. يربح 10 دنانير إذا ظهر 6، ويخسر 2 دينار في الحالات الأخرى. X الربح الجبري:
P(X = 10) = 1 / 6وP(X = -2) = 5 / 6.E(X) = 10 × 1/6 + (-2) × 5/6 = 10/6 - 10/6 = 0.
اللعبة عادلة.
تمرين من البكالوريا
كيس فيه 3 كرات حمراء و 2 كرتان بيضاوان. نسحب عشوائيًا كرتين في آن واحد. ليكن X عدد الكرات الحمراء المسحوبة.
1. حدد القيم الممكنة لـ X.
القيم: 0 و 1 و 2.
2. احسب P(X = k).
عدد طرق سحب كرتين من 5: C(5,2) = 10.
P(X = 0): كرتان بيضاوان:C(2,2) = 1فـ1 / 10.P(X = 1): حمراء وبيضاء:3 × 2 = 6فـ6 / 10.P(X = 2): حمراوان:C(3,2) = 3فـ3 / 10.
التحقق: 1/10 + 6/10 + 3/10 = 1.
3. احسب الأمل الرياضياتي.
E(X) = 0 × 1/10 + 1 × 6/10 + 2 × 3/10 = 12/10 = 1.2.
4. احسب التباين.
E(X²) = 0 + 1 × 6/10 + 4 × 3/10 = 18/10 = 1.8، و V(X) = 1.8 - 1.44 = 0.36، و σ(X) = 0.6.
أخطاء شائعة
- أن لا يساوي مجموع الاحتمالات
1، وهو أول مؤشر على خطأ في الحساب. - نسيان إدراج كل القيم الممكنة للمتغير.
- حساب
E(X²)كما لو كان[E(X)]². - الخلط بين
P(X = k)وP(X ≤ k). - حساب الاحتمال بالنظر إلى النتائج لا إلى قيم المتغير (قد تعطي عدة نتائج القيمة نفسها).
- الحصول على تباين سالب، وهو مستحيل ويدل على خطأ.
تمارين للتدرب
- نرمي نردًا متوازنًا، و
Xتساوي1إذا ظهر عدد زوجي و-1وإلا. احسبE(X). - جدول قانون:
x_i=0 ; 1 ; 2واحتمالاتها0.2 ; 0.5 ; a. أوجدaثمE(X).
الحلول:
P(X = 1) = P(X = -1) = 1/2، فـE(X) = 1/2 - 1/2 = 0.a = 1 - 0.7 = 0.3، وE(X) = 0 × 0.2 + 1 × 0.5 + 2 × 0.3 = 1.1.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ عبد الباسط في فيديو «كل أفكار المتغير العشوائي مع تمرين من الباكلوريا، الاحتمال» هذا الدرس في نحو ست وعشرين دقيقة، وهو الدرس الثالث في وحدة الاحتمالات، ويصفه بأنه من أهم دروسها ويستحيل ألا يرد في تمرين بكالوريا.