الاحتمالات من الوحدات التي تحتاج إلى قراءة دقيقة للنص أكثر مما تحتاج إلى حسابات صعبة. فأغلب الأخطاء فيها سببها تفسير خاطئ لما يطلبه السؤال: هل المطلوب حادثة أم حادثة عكسية؟ وهل السحب مع إرجاع أم بدونه؟ وهل الترتيب يهم أم لا؟ تلخص هذه الصفحة الوحدة: المفردات، ثم القانون العام، ثم العد، ثم الاحتمال الشرطي والاستقلال والاحتمال الكلي، وتنتهي بأخطاء متكررة وتمارين محلولة.
المفردات
- التجربة العشوائية تجربة نعرف كل نتائجها الممكنة دون أن نعرف مسبقًا أيها ستقع، كرمي زهرة نرد.
- فضاء العينة
Ωهو مجموعة كل النتائج الممكنة. - الحادثة جزء من
Ω. الحادثة الأكيدة هيΩ، والحادثة المستحيلة هي المجموعة الخالية. - الحادثة العكسية للحادثة
Aهي الحادثةĀالتي تقع حين لا تقعA. - حادثتان غير متلائمتين إذا كان تقاطعهما خاليًا، أي لا يمكن أن تقعا معًا.
قانون الاحتمال المنتظم
حين تكون كل النتائج متساوية الإمكان يكون احتمال حادثة A هو نسبة الحالات الملائمة إلى الحالات الممكنة:
P(A) = عدد عناصر A / عدد عناصر Ω
مثال: نختار رقمًا من الأرقام من 0 إلى 9. احتمال الحصول على رقم زوجي: الأرقام الزوجية هي 0 و 2 و 4 و 6 و 8، أي خمسة أرقام من عشرة، فالاحتمال 5 / 10 = 1 / 2.
القوانين الأساسية
0 ≤ P(A) ≤ 1. وإذا حصلت على احتمال سالب أو أكبر من 1 فهناك خطأ.P(Ω) = 1وP(∅) = 0. فالحادثة الأكيدة احتمالها 1 والمستحيلة احتمالها 0.P(Ā) = 1 − P(A). وهذه القاعدة تختصر كثيرًا من الحسابات، فحين يصعب حساب «على الأقل واحد» احسب «ولا واحد» ثم اطرحه من 1.P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). وإذا كانت الحادثتان غير متلائمتين فإنP(A ∩ B) = 0فيصير القانونP(A ∪ B) = P(A) + P(B).
العد
لحساب عدد الحالات نستعمل ثلاث أدوات:
- مبدأ الجداء: إذا كان لاختيار أول
n₁طريقة ولاختيار ثانٍn₂طريقة فللاختيارين معًاn₁ × n₂طريقة. - التراتيب
A(n, p) = n! / (n − p)!: عدد طرق اختيارpعنصرًا منnعنصرًا مع اعتبار الترتيب. وحالةp = nتسمى التبديلات وعددهاn!. - التوفيقات
C(n, p) = n! / (p! × (n − p)!): عدد طرق اختيارpعنصرًا منnدون اعتبار الترتيب.
وللاختيار بينهما اسأل نفسك: هل يتغير الحال إذا بدلت ترتيب العناصر؟ إن كان الجواب نعم فالتراتيب، وإن كان لا فالتوفيقات. فاختيار لجنة من 3 تلاميذ من بين 8 توفيقات: C(8, 3) = 56. أما اختيار رئيس ونائب وأمين من بين 8 فتراتيب: A(8, 3) = 8 × 7 × 6 = 336.
مثال. كيس فيه 5 كرات حمراء و 3 زرقاء، نسحب منه كرتين في آن واحد. عدد الحالات الممكنة C(8, 2) = 28. احتمال أن تكون الكرتان حمراوين C(5, 2) / 28 = 10 / 28 = 5 / 14. واحتمال أن تكون إحداهما حمراء والأخرى زرقاء 5 × 3 / 28 = 15 / 28. واحتمال أن تكونا زرقاوين C(3, 2) / 28 = 3 / 28. ومجموع الاحتمالات الثلاثة 10 + 15 + 3 = 28 على 28، أي 1، فالحسابات سليمة.
الاحتمال الشرطي
احتمال A علمًا أن B وقعت، بشرط P(B) ≠ 0:
P_B(A) = P(A ∩ B) / P(B)
ومنه قانون الجداء: P(A ∩ B) = P(B) × P_B(A).
مثال. في قسم 30 تلميذًا، منهم 13 يلبسون نظارات، وبين هؤلاء 9 بنات. نختار تلميذًا عشوائيًا. إذا كان B «يلبس نظارات» و A «بنت»، فإن P(A ∩ B) = 9 / 30 و P(B) = 13 / 30، ومنه P_B(A) = 9 / 13. معنى ذلك أن احتمال أن يكون من يلبس نظارات بنتًا هو 9 / 13.
الاستقلال
حادثتان A و B مستقلتان إذا كان P(A ∩ B) = P(A) × P(B)، أي أن وقوع إحداهما لا يغير احتمال الأخرى. وانتبه: الحادثتان غير المتلائمتين ذواتا احتمال غير معدوم لا تكونان مستقلتين أبدًا، لأن إحداهما إذا وقعت منعت الأخرى.
الاحتمال الكلي والشجرة
إذا شكلت B و B̄ تجزئة لفضاء العينة فإن P(A) = P(B) × P_B(A) + P(B̄) × P_B̄(A). ونتمثل ذلك بشجرة احتمالات: نضرب الاحتمالات على طول الفرع الواحد، ثم نجمع الفروع التي تؤدي إلى الحادثة المطلوبة.
مثال. مصنع فيه آلتان. الآلة الأولى تنتج 60% من القطع، ونسبة المعيب فيها 2%. والآلة الثانية تنتج 40%، ونسبة المعيب فيها 5%. احتمال أن تكون قطعة مختارة معيبة: 0.6 × 0.02 + 0.4 × 0.05 = 0.012 + 0.02 = 0.032. وإذا كانت القطعة معيبة فاحتمال أنها من الآلة الأولى 0.012 / 0.032 = 0.375.
وتختلف الأجزاء المقررة من هذه الوحدة بين الشعب، فراجع مع أستاذك ما يخص شعبتك.
أخطاء شائعة
- الخلط بين الحادثتين غير المتلائمتين والمستقلتين. الأولى لا تقعان معًا، والثانية لا تؤثر إحداهما في الأخرى.
- استعمال التوفيقات حين يهم الترتيب، أو العكس.
- جمع احتمالين دون طرح
P(A ∩ B)حين تكون الحادثتان متلائمتين. - القسمة على احتمال الحادثة الخطأ في الاحتمال الشرطي. المقسوم عليه دائمًا احتمال الحادثة المعلومة
B. - الخلط بين السحب مع الإرجاع (تتساوى الاحتمالات في كل سحب) والسحب دون إرجاع (تتغير بعد كل سحب).
- ترك الاحتمال كبيرًا بعد الجمع: أي نتيجة أكبر من 1 تعني خطأ.
تمارين للتدرب
- نرمي زهرتي نرد متمايزتين. ما احتمال أن يكون المجموع 7؟
- صندوق فيه 4 كرات بيضاء و 6 سوداء، نسحب 3 كرات في آن واحد. ما احتمال الحصول على كرتين بيضاوين بالضبط؟
P(A) = 0.5وP(B) = 0.4وP(A ∩ B) = 0.2. احسبP(A ∪ B)، وهل الحادثتان مستقلتان؟- إذا كان
P(A ∩ B) = 0.12وP(B) = 0.3فاحسبP_B(A). - بكم طريقة يمكن ترتيب 5 تلاميذ في صف؟ وبكم طريقة يمكن اختيار لجنة من 3 تلاميذ من 10؟
الحلول:
- عدد الحالات الممكنة
6 × 6 = 36، والحالات الملائمة ستة:(1,6)و(2,5)و(3,4)و(4,3)و(5,2)و(6,1). إذن6 / 36 = 1 / 6. C(4, 2) × C(6, 1) / C(10, 3) = 6 × 6 / 120 = 36 / 120 = 3 / 10.P(A ∪ B) = 0.5 + 0.4 − 0.2 = 0.7. وبما أنP(A) × P(B) = 0.5 × 0.4 = 0.2 = P(A ∩ B)فالحادثتان مستقلتان.P_B(A) = 0.12 / 0.3 = 0.4.5! = 120طريقة للترتيب، وC(10, 3) = 120طريقة للاختيار.
الشرح المصوّر وملفات التمارين
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ نورالدين في فيديو «أقوى ملخص في الاحتمالات للثالثة ثانوي» ملخصًا في نحو ست عشرة دقيقة: قانون الاحتمال المنتظم، واتحاد حادثتين وتقاطعهما، والحادثة الأكيدة والمستحيلة، ثم الاحتمال الشرطي.
وللتطبيق على مواضيع حقيقية، اطلع على هذه الملفات في الموقع: