بعد أن تعلم التلميذ في دروس سابقة من وحدة الدوال العددية كيف يحسب النهايات وكيف يتخلص من حالات عدم التعيين، يطرح السؤال: ماذا تعني هذه النهايات هندسيًا؟ والجواب هو المستقيمات المقاربة: مستقيمات يقترب منها منحنى الدالة أكثر فأكثر دون أن يلمسها غالبًا. وهذا الدرس هو التفسير الهندسي للنهايات، وهو يطرح في كل اختبار تقريبًا (الدراسة الكاملة لدالة). وفهم فكرة المستقيم المقارب يختصر نصف الطريق في رسم المنحنى. تعرض هذه الصفحة الفكرة العامة، ثم الحالات الثلاث للمقارب، ثم طريقة تعيين المقارب المائل، ثم وضعية المنحنى بالنسبة إليه، ثم مثالًا كاملًا، وتنتهي بأخطاء شائعة وتمارين.
فكرة المستقيم المقارب
نقول إن المستقيم (D) مقارب لمنحنى (C_f) إذا اقتربت المسافة بين نقطة متحركة M على المنحنى والمستقيم (D) من 0 عندما تبتعد M إلى ما لا نهاية. أي أن المنحنى «يلتصق» تدريجيًا بالمستقيم دون أن يخرج منه نحو مسافة كبيرة.
والأهم عند التلميذ أن يربط حالة النهاية بنوع المقارب.
الحالات الثلاث
1. المقارب الشاقولي
إذا كانت lim_(x→a) f(x) = +∞ أو -∞ (ولو من جهة واحدة)، فإن المستقيم الذي معادلته x = a مقارب شاقولي للمنحنى.
مثال: f(x) = 1 / (x - 2). عندما x يؤول إلى 2 تؤول f(x) إلى ما لا نهاية، فالمستقيم x = 2 مقارب شاقولي.
2. المقارب الأفقي
إذا كانت lim_(x→+∞) f(x) = b أو lim_(x→-∞) f(x) = b حيث b عدد حقيقي، فإن المستقيم y = b مقارب أفقي للمنحنى بجوار +∞ أو -∞.
مثال: f(x) = (2x + 1) / (x - 1). النهاية عند +∞ و -∞ تساوي 2، فالمستقيم y = 2 مقارب أفقي.
3. المقارب المائل
إذا كان lim_(x→+∞) [f(x) - (ax + b)] = 0 (مع a يختلف عن 0)، فإن المستقيم y = ax + b مقارب مائل للمنحنى بجوار +∞ (وكذلك بجوار -∞ بالطريقة نفسها).
كيف نعين المقارب المائل؟
الطريقة الأولى: الكتابة المباشرة
إذا استطعنا كتابة f(x) = ax + b + g(x) حيث g(x) تؤول إلى 0 عندما x يؤول إلى ∞، فالمستقيم y = ax + b مقارب مائل.
مثال: f(x) = x² / (x - 1). نقسم: x² = (x - 1)(x + 1) + 1 فـ f(x) = x + 1 + 1 / (x - 1). ولأن 1 / (x - 1) تؤول إلى 0، فالمستقيم y = x + 1 مقارب مائل.
الطريقة الثانية: النهايتان
نحسب:
a = lim_(x→∞) f(x) / x ثم b = lim_(x→∞) [f(x) - ax].
فإذا كان a عددًا منتهيًا غير معدوم و b عددًا منتهيًا، فالمقارب المائل هو y = ax + b.
ملاحظة: إذا كان a = 0 فالمقارب أفقي. وإذا كان a غير منته فلا يوجد مقارب مائل (يوجد اتجاه مقارب فقط).
وضعية المنحنى بالنسبة للمقارب المائل
لدراسة وضعية (C_f) بالنسبة إلى (D) : y = ax + b ندرس إشارة الفرق f(x) - (ax + b):
- إذا كان الفرق موجبًا فالمنحنى فوق المقارب.
- إذا كان سالبًا فالمنحنى تحته.
- إذا انعدم عند قيمة فالمنحنى يقطع المقارب عندها.
مثال كامل
لتكن f(x) = x² / (x - 1) المعرفة على R - {1}.
1. المقارب الشاقولي: عندما x يؤول إلى 1 من اليمين، البسط يؤول إلى 1 والمقام يؤول إلى 0 بقيم موجبة، فـ f(x) تؤول إلى +∞. ومن اليسار تؤول إلى -∞. إذن x = 1 مقارب شاقولي.
2. المقارب المائل: كما رأينا f(x) = x + 1 + 1 / (x - 1)، إذن y = x + 1 مقارب مائل بجوار +∞ وبجوار -∞.
3. الوضعية: f(x) - (x + 1) = 1 / (x - 1).
- إذا كان
xأكبر من1: الفرق موجب، فالمنحنى فوق المستقيم. - إذا كان
xأصغر من1: الفرق سالب، فالمنحنى تحت المستقيم.
خطوات دراسة المقاربات في اختبار
- حدد مجموعة تعريف الدالة.
- احسب النهايات عند أطراف المجموعة: عند
+∞و-∞وعند القيم التي تمنع التعريف. - فسر كل نتيجة هندسيًا بنوع المقارب.
- إن ظهر أن المنحنى يقبل مقاربًا مائلًا فادرس وضعيته.
- اكتب معادلات المقاربات بوضوح.
أخطاء شائعة
- القول إن المنحنى لا يقطع مقاربه أبدًا. قد يقطع المقارب المائل أو الأفقي عند قيم محدودة.
- كتابة المقارب الشاقولي
y = aبدلx = a. - الخلط بين المقارب الأفقي
y = bوالمائل. - نسيان دراسة النهاية على كلا الطرفين
+∞و-∞. - عدم دراسة النهاية من جهتين عند القيمة الممنوعة.
- إهمال إشارة الفرق عند دراسة الوضعية.
تمارين للتدرب
- عين المقاربات للدالة
f(x) = 3x / (x + 2). - عين المقارب المائل للدالة
g(x) = 2x + 1 + 3 / x، وادرس وضعية المنحنى.
الحلول:
x = -2مقارب شاقولي، وy = 3مقارب أفقي.- المقارب المائل
y = 2x + 1، والفرق3 / x: موجب عندماxأكبر من0فالمنحنى فوق المقارب، وسالب عندماxأصغر من0فالمنحنى تحته.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ عبد الباسط في فيديو «فهم المستقيمات المقاربة خطوة بخطوة، الدوال العددية 8، باك» هذا الدرس في نحو ثمان وثلاثين دقيقة، ويأتي بعد دروس النهايات وحالات عدم التعيين، ويشرح التفسير الهندسي للنهايات في ثلاث حالات للمقارب مع تطبيقين.