تعلمت في السنة الثانية كيف تشتق دالة: تعطى الدالة f فتبحث عن مشتقها f'. فماذا لو أعطيت المشتق وطلب منك أن تجد الدالة التي اشتقت منه؟ هذه العملية المعاكسة للاشتقاق هي موضوع الدوال الأصلية، وبها تبدأ وحدة الدوال الأصلية والحساب التكاملي في السنة الثالثة ثانوي، وهي من أهم وحدات البكالوريا على الإطلاق في الشعب العلمية: العلوم التجريبية والتقني رياضي والرياضيات. تعرض هذه الصفحة تعريف الدالة الأصلية، ثم وجودها، ثم مبرهنة الفرق الثابت، ثم الجدول، ثم قواعد مركبة، ثم أمثلة، وتنتهي بأخطاء شائعة وتمارين.
تعريف الدالة الأصلية
لتكن f دالة معرفة على مجال I. نقول إن F دالة أصلية للدالة f على I إذا كانت F قابلة للاشتقاق على I ولكل x من I:
F'(x) = f(x)
أي أن f هي مشتق F.
مثال: الدالة F(x) = x² دالة أصلية للدالة f(x) = 2x على R، لأن F'(x) = 2x.
وكذلك G(x) = x² + 5 دالة أصلية لـ f أيضًا، لأن مشتق x² + 5 هو 2x. وهذا يعني أن للدالة f عدة دوال أصلية وليست واحدة.
وجود الدوال الأصلية
المبرهنة (مقبولة): كل دالة مستمرة على مجال I تقبل دوال أصلية على I.
فاستمرارية الدالة هي الشرط الكافي لوجود الدوال الأصلية. ولهذا كان الطلب «بين أن الدالة مستمرة، إذن تقبل دوال أصلية» جملة معتادة في التمارين.
مبرهنة الفرق الثابت
إذا كانت F دالة أصلية للدالة f على مجال I، فإن الدوال الأصلية الأخرى لـ f على I هي بالضبط الدوال:
G(x) = F(x) + c
حيث c عدد حقيقي ثابت.
البرهان المختصر: إذا كانت G دالة أصلية أخرى فإن (G - F)' = f - f = 0 على I، ومشتق الدالة معدوم على مجال يعني أنها ثابتة، إذن G - F = c.
الدالة الأصلية التي تحقق شرطًا ابتدائيًا
من بين كل الدوال الأصلية لـ f على I، توجد دالة وحيدة F تأخذ القيمة y_0 عند العدد x_0 من I. وتحدد بإيجاد c من الشرط F(x_0) = y_0.
مثال: أوجد الدالة الأصلية F للدالة f(x) = 3x² - 4x + 1 على R التي تحقق F(1) = 2.
- دالة أصلية:
x³ - 2x² + x. - الدوال الأصلية كلها:
F(x) = x³ - 2x² + x + c. F(1) = 1 - 2 + 1 + c = c، ونريدF(1) = 2إذنc = 2.F(x) = x³ - 2x² + x + 2.
جدول الدوال الأصلية المألوفة
نحصل عليه بقراءة جدول المشتقات في الاتجاه المعاكس. (c ثابت حقيقي في كل سطر.)
الدالة f |
دالة أصلية F |
المجال |
|---|---|---|
k (ثابت) |
kx |
R |
x^n (n عدد صحيح يختلف عن -1) |
x^(n+1) / (n + 1) |
حسب n |
1 / x² |
-1 / x |
]0 ; +∞[ أو ]-∞ ; 0[ |
1 / √x |
2√x |
]0 ; +∞[ |
1 / x |
ln x |
]0 ; +∞[ |
e^x |
e^x |
R |
cos x |
sin x |
R |
sin x |
-cos x |
R |
القواعد على الدوال المركبة
إذا كانت u دالة قابلة للاشتقاق على I فإن:
| الدالة | دالة أصلية |
|---|---|
u' · u^n (n يختلف عن -1) |
u^(n+1) / (n + 1) |
u' / u (حيث u موجبة تمامًا) |
ln u |
u' / √u (حيث u موجبة تمامًا) |
2√u |
u' · e^u |
e^u |
u' / u² |
-1 / u |
كما أن الدالة الأصلية لمجموع دالتين هي مجموع دالتين أصليتين لهما، وأن الدالة الأصلية لـ k · f هي k · F.
أمثلة
مثال 1
أوجد الدوال الأصلية لـ f(x) = 5x⁴ - 3x² + 2 على R.
F(x) = x⁵ - x³ + 2x + c.
مثال 2
f(x) = 2x / (x² + 1) على R. نلاحظ أنها من الشكل u' / u حيث u = x² + 1 موجبة تمامًا. إذن F(x) = ln(x² + 1) + c.
مثال 3
f(x) = (2x + 1)(x² + x)³. نضع u = x² + x فـ u' = 2x + 1، والدالة من الشكل u' · u³. إذن F(x) = (x² + x)⁴ / 4 + c.
مثال 4
f(x) = x e^(x²). نلاحظ أن مشتق x² هو 2x، إذن f(x) = (1 / 2) · 2x · e^(x²) من الشكل (1 / 2) u' e^u. إذن F(x) = (1 / 2) e^(x²) + c.
مثال 5
f(x) = cos x - 3 sin x على R. F(x) = sin x + 3 cos x + c.
أخطاء شائعة
- نسيان الثابت
cعند ذكر كل الدوال الأصلية. - القول إن للدالة دالة أصلية واحدة فقط.
- نسيان شرط الاستمرارية عند التعليل على الوجود.
- إيجاد الدالة الأصلية لـ
1 / xعلى مجال يشمل0. - الخطأ في المعامل عند الدالة المركبة، كنسيان القسمة على
n + 1أو على2في المثال 4. - الخلط بين الدالة الأصلية والمشتق.
تمارين للتدرب
- أوجد دالة أصلية لـ
f(x) = 6x² - 2x. - أوجد الدالة الأصلية لـ
g(x) = 1 / x²على]0 ; +∞[التي تحققG(1) = 3. - أوجد دالة أصلية لـ
h(x) = 3x² e^(x³).
الحلول:
F(x) = 2x³ - x².G(x) = -1 / x + c، وG(1) = -1 + c = 3إذنc = 4، فـG(x) = -1 / x + 4.u = x³وu' = 3x²، إذنH(x) = e^(x³).
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ عبد الباسط في فيديو «أقوى شرح لدرس الدالة الأصلية، الدوال الأصلية 01، باك» هذا الدرس في نحو إحدى وعشرين دقيقة، وهو بداية وحدة الدوال الأصلية والحساب التكاملي، ويصفها بأنها من أهم الوحدات على الإطلاق في عام البكالوريا.