كيف نبرهن أن خاصية ما صحيحة لكل عدد طبيعي، وهي أعداد لا نهاية لها؟ لا يمكن أن نجرب كل عدد، لأن التجربة لن تنتهي أبدًا. هنا يأتي البرهان بالتراجع (أو الاستدلال بالتراجع)، وهو طريقة ذكية تشبه سقوط صف من قطع الدومينو: إذا سقطت القطعة الأولى، وكانت كل قطعة تُسقط التي تليها، فإن الصف كله يسقط. وهو من الدروس المهمة في وحدة المتتاليات العددية في البكالوريا للشعب العلمية، لأن أسئلة البرهان بالتراجع تتكرر في اختبارات علوم تجريبية وتقني رياضي ورياضيات. تعرض هذه الصفحة المبدأ، ثم الخطوات، ثم تطبيقات متنوعة، وتنتهي بأخطاء شائعة وتمارين محلولة.
مبدأ الاستدلال بالتراجع
لتكن P(n) خاصية تتعلق بالعدد الطبيعي n. لإثبات أن P(n) صحيحة لكل n أكبر من أو يساوي n_0، نتبع ثلاث خطوات:
- التحقق (الأساس): نتحقق أن
P(n_0)صحيحة، أي أن الخاصية صحيحة عند أول قيمة. - الوراثة (الاستدلال): نفرض أن
P(n)صحيحة من أجل عددnمعين (أكبر من أو يساويn_0) ونسميه فرضية التراجع، ونبرهن أنP(n+1)صحيحة. - الخلاصة: نستنتج أن
P(n)صحيحة لكلnأكبر من أو يساويn_0.
والمعنى: إذا صحت الخاصية في البداية، وكانت صحتها عند عدد تقتضي صحتها عند العدد الذي يليه، فهي صحيحة دائمًا.
نموذج للكتابة في ورقة الامتحان
نبرهن بالتراجع أن لكل
nمنN:P(n). التحقق: من أجلn = 0، ...P(0)صحيحة. الوراثة: نفرض أنP(n)صحيحة من أجلnمعين، ونبرهن أنP(n+1)صحيحة. ... إذنP(n+1)صحيحة. الخلاصة: حسب مبدأ الاستدلال بالتراجع،P(n)صحيحة لكلnمنN.
التطبيق الأول: مجموع الأعداد الطبيعية المتتابعة
برهن بالتراجع أن لكل n من N*: 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1) / 2.
- التحقق: من أجل
n = 1: الطرف الأيسر1، والطرف الأيمن1 · 2 / 2 = 1. صحيحة. - الوراثة: نفرض أن
1 + 2 + ... + n = n(n + 1) / 2. نضيفn + 1إلى الطرفين:
1 + 2 + ... + n + (n + 1) = n(n + 1) / 2 + (n + 1) = (n + 1)(n / 2 + 1) = (n + 1)(n + 2) / 2
وهذه هي الصيغة نفسها مع استبدال n بـ n + 1. إذن الخاصية صحيحة من أجل n + 1.
- الخلاصة: الخاصية صحيحة لكل
nمنN*.
التطبيق الثاني: متتالية معرفة بعلاقة تراجعية
المتتالية (u_n) معرفة بـ u_0 = 0 ولكل n: u_(n+1) = √(2 + u_n). برهن أن لكل n: 0 ≤ u_n ≤ 2.
- التحقق:
u_0 = 0وهو محصور بين0و2. صحيحة. - الوراثة: نفرض
0 ≤ u_n ≤ 2. بإضافة2:2 ≤ 2 + u_n ≤ 4. وبما أن دالة الجذر التربيعي متزايدة على[0 ; +∞[:√2 ≤ √(2 + u_n) ≤ √4 = 2، أي√2 ≤ u_(n+1) ≤ 2. وبما أن√2أكبر من0فإن0 ≤ u_(n+1) ≤ 2. - الخلاصة: لكل
n:0 ≤ u_n ≤ 2.
وهذا النوع (إثبات أن المتتالية محدودة) يتكرر كثيرًا في البكالوريا في تمارين المتتاليات من نوع u_(n+1) = f(u_n).
التطبيق الثالث: قابلية القسمة
برهن أن لكل n من N: 4^n - 1 يقبل القسمة على 3.
- التحقق:
n = 0:4⁰ - 1 = 0وهو يقبل القسمة على3. صحيحة. - الوراثة: نفرض أن
4^n - 1 = 3kحيثkعدد صحيح. إذن4^(n+1) - 1 = 4 · 4^n - 1 = 4(4^n - 1) + 4 - 1 = 4 · 3k + 3 = 3(4k + 1). وهذا يقبل القسمة على3. - الخلاصة: صحيحة لكل
n.
التطبيق الرابع: متباينة
برهن أن لكل n من N: 2^n ≥ n + 1.
- التحقق:
n = 0:2⁰ = 1 ≥ 1. صحيحة. - الوراثة: نفرض
2^n ≥ n + 1. نضرب في2:2^(n+1) ≥ 2n + 2. وبما أن2n + 2 ≥ n + 2لأنn ≥ 0، فإن2^(n+1) ≥ (n + 1) + 1. صحيحة. - الخلاصة: صحيحة لكل
n.
متى نستعمل البرهان بالتراجع؟
- عندما يطلب البرهان على خاصية لكل
nالطبيعي. - عندما تكون المتتالية معرفة بعلاقة تراجعية
u_(n+1) = f(u_n)ويطلب إثبات تحديد أو رتابة أو وجود حد. - عند إثبات صيغة صريحة لمجموع أو جداء.
- عند إثبات قابلية القسمة أو متباينة تتعلق بـ
n.
أخطاء شائعة
- نسيان خطوة التحقق، فتصبح الوراثة وحدها غير كافية.
- الانطلاق من الخاصية المراد إثباتها
P(n+1)والوصول إلى شيء صحيح (هذا ليس برهانًا بالتراجع). - عدم ذكر فرضية التراجع صراحة.
- استعمال فرضية التراجع في الخاصية من أجل
n+1بدلn. - اختيار قيمة بداية خاطئة
n_0. - نسيان كتابة الخلاصة في آخر الحل.
تمارين للتدرب
- برهن أن لكل
nمنN*:1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n². - برهن أن لكل
n:3^n ≥ 2n + 1.
الحلول:
n = 1:1 = 1². الوراثة: نفرض1 + 3 + ... + (2n - 1) = n²، فبإضافة2n + 1نجدn² + 2n + 1 = (n + 1)². فالخاصية صحيحة.n = 0:1 ≥ 1. الوراثة:3^(n+1) = 3 · 3^n ≥ 3(2n + 1) = 6n + 3 ≥ 2n + 3 = 2(n + 1) + 1. فالخاصية صحيحة.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ عبد الباسط في فيديو «أقوى شرح لدرس البرهان بالتراجع مع تمارين من باكلوريا، المتتاليات» هذا الدرس في نحو ست وثلاثين دقيقة، ويشرح فيه مبدأ البرهان بالتراجع نظريًا ثم يطبقه على ثلاثة تمارين من البكالوريا: علوم تجريبية وتقني رياضي ورياضيات.