بعد أن تعلم التلميذ في الدرس السابق الأعداد الأولية وكيف يحلل عددا إلى جداء عوامل أولية، يأتي السؤال: فيم نستعمل هذا التحليل؟ له ثلاثة استعمالات: حساب PGCD (القاسم المشترك الأكبر)، وحساب PPCM (المضاعف المشترك الأصغر)، ومعرفة هل عدد ناطق هو عدد عشري. تعرض الصفحة كل استعمال بمثال، وتنتهي بتمارين.
تذكير: التحليل إلى عوامل أولية
نحلل العدد بقسمته المتتالية على الأعداد الأولية 2 ، 3 ، 5 ، 7 ... حتى نصل إلى 1.
2450 = 2 × 5² × 7².1200 = 2⁴ × 3 × 5².
للتحقق: 2 × 25 × 49 = 2450 و16 × 3 × 25 = 1200.
1. حساب PGCD
PGCD هو جداء العوامل الأولية المشتركة بين العددين، كل عامل بأصغر أس.
العوامل المشتركة بين 2450 و1200 هي 2 و5:
2: الأس في الأول1وفي الثاني4، نأخذ الأصغر2¹.5: الأس في الأول2وفي الثاني2، نأخذ5².- العاملان
3و7غير مشتركين فنهملهما.
إذن: PGCD(2450 ; 1200) = 2 × 5² = 50.
2. حساب PPCM
PPCM هو جداء كل العوامل الأولية الظاهرة في التحليلين، كل عامل بأكبر أس.
2: أكبر أس4←2⁴.3: أكبر أس1←3.5: أكبر أس2←5².7: أكبر أس2←7².
إذن: PPCM(2450 ; 1200) = 2⁴ × 3 × 5² × 7² = 58800.
علاقة مفيدة
PGCD × PPCM = a × b
للتحقق: 50 × 58800 = 2 940 000 و2450 × 1200 = 2 940 000.
3. معرفة هل العدد الناطق عشري
يكون الكسر غير القابل للاختزال
a/bعددا عشريا إذا كان مقامهbلا يحتوي في تحليله إلا العاملين2و5فقط.
أمثلة:
7/40:40 = 2³ × 5← عشري (7/40 = 0.175).5/12:12 = 2² × 3← يظهر العامل3فهو غير عشري.9/50:50 = 2 × 5²← عشري (0.18).
وقبل الحكم نختزل الكسر أولا.
جدول الخلاصة
| الاستعمال | القاعدة |
|---|---|
| PGCD | العوامل المشتركة بأصغر أس |
| PPCM | كل العوامل بأكبر أس |
| العدد العشري | المقام (بعد الاختزال) عوامله 2 و5 فقط |
مثال تطبيقي
يريد بائع تقسيم 2450 حبة تمر و1200 حبة تين على أكياس متماثلة بأكبر عدد ممكن دون بقاء شيء. عدد الأكياس هو PGCD = 50، في كل كيس 49 حبة تمر و24 حبة تين.
تمارين
- أوجد
PGCD(36 ; 60)وPPCM(36 ; 60). (12و180) - هل
11/80عدد عشري؟ (نعم،80 = 2⁴ × 5) - هل
4/15عدد عشري؟ (لا، المقام فيه العامل 3)
نصائح
- حلل العددين بدقة قبل أي استعمال.
- تحقق بالعلاقة
PGCD × PPCM = a × b. - اختزل الكسر قبل دراسة المقام.
أخطاء شائعة
- أخذ أكبر أس في PGCD بدل أصغر.
- نسيان العوامل غير المشتركة في PPCM.
- الحكم على الكسر قبل اختزاله.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ سليم مختارة في فيديو «الدرس 06: استعمال التحليل إلى جداء عوامل أولية PGCD وPPCM، أولى ثانوي» هذا الدرس في نحو سبع عشرة دقيقة.