درس الاستمرارية للبكالوريا في الرياضيات: تعريف الاستمرارية عند نقطة ودراسة الدوال الشرطية وجبر الاستمرارية

بعد دراسة النهايات بأنواعها (إزالة حالة عدم التعيين، نهاية مركب دالتين، النهاية بالحصر والمقارنة) والمستقيمات المقاربة الأفقي والعمودي والمائل، ينتقل تلميذ البكالوريا في محور الدوال العددية إلى درس الاستمرارية. والدرس بسيط إذا فهمت فكرته. تعرض الصفحة التعريف وطريقة دراسة الدوال الشرطية، وتنتهي بتمارين.

الفكرة الحدسية

دالة مستمرة عند نقطة معناها أن منحناها يمر بتلك النقطة دون انقطاع، أي يمكن رسمه دون رفع القلم عندها. وانقطاع المنحنى يعني أن الدالة غير مستمرة.

التعريف

لتكن ⁦f⁩ دالة معرفة على مجال مفتوح ⁦I⁩ و⁦x₀⁩ عنصرا من ⁦I⁩. نقول إن ⁦f⁩ مستمرة عند ⁦x₀⁩ إذا كانت:

⁦lim f(x) = f(x₀)⁩ عندما يؤول ⁦x⁩ إلى ⁦x₀⁩

ولكي نبين أن الدالة مستمرة عند ⁦x₀⁩ يجب إثبات ثلاثة أشياء:

1. النهاية من اليمين موجودة.
2. النهاية من اليسار موجودة.
3. النهايتان متساويتان وتساويان الصورة ⁦f(x₀)⁩.

أي: ⁦lim f(x)⁩ (من اليمين) ⁦=⁩ ⁦lim f(x)⁩ (من اليسار) ⁦=⁩ ⁦f(x₀)⁩.

ولا يكفي أن تتساوى النهايتان بل يجب أن تساويا صورة الدالة عند ⁦x₀⁩.

الدوال الشرطية

كثيرا ما يعطى في الامتحان دالة معرفة بأكثر من عبارة (دالة شرطية)، إما بـدستورين وإما بـدستور وقيمة معزولة.

مثال 1: دستور وقيمة معزولة

لتكن ⁦f⁩ المعرفة على ⁦R⁩ بـ:

⁦f(x) = (x² - 1) / (x - 1)⁩ من أجل ⁦x ≠ 1⁩، و⁦f(1) = 2⁩.

ندرس الاستمرارية عند ⁦x₀ = 1⁩.

• من أجل ⁦x ≠ 1⁩: ⁦f(x) = (x - 1)(x + 1) / (x - 1) = x + 1⁩.
• النهاية عند 1 هي ⁦1 + 1 = 2⁩، من اليمين ومن اليسار.
• الصورة: ⁦f(1) = 2⁩.
• النهاية تساوي الصورة، إذن ⁦f⁩ مستمرة عند 1.

مثال 2: دالة غير مستمرة

لتكن ⁦g(x) = x + 1⁩ من أجل ⁦x < 0⁩، و⁦g(x) = 2x + 3⁩ من أجل ⁦x ≥ 0⁩.

• من اليسار: ⁦lim g(x) = 0 + 1 = 1⁩.
• من اليمين: ⁦lim g(x) = 2 × 0 + 3 = 3⁩.
• النهايتان مختلفتان (⁦1 ≠ 3⁩)، إذن ⁦g⁩ غير مستمرة عند 0.

استمرارية على مجال

• الدالة مستمرة على مجال إذا كانت مستمرة عند كل نقطة منه.
• كل من كثيرات الحدود والدوال الناطقة (على مجال تعريفها) ودالة الجذر التربيعي والقيمة المطلقة مستمرة على مجال تعريفها.
• مجموع وجداء وحاصل قسمة (مقامه لا ينعدم) ومركب دوال مستمرة هي دوال مستمرة.

خطوات دراسة استمرارية دالة شرطية

1. عين مجموعة التعريف.
2. ادرس الاستمرارية عند نقطة التغير فقط (حيث يتبدل الدستور).
3. احسب النهايتين من الجهتين والصورة.
4. قارن واستنتج.
5. أما خارج هذه النقطة فالدالة مستمرة لأنها معرفة بدوال مألوفة.

تمارين

1. ادرس استمرارية ⁦f(x) = x²⁩ من أجل ⁦x ≤ 1⁩ و⁦f(x) = 2x - 1⁩ من أجل ⁦x > 1⁩ عند 1. (النهايتان تساويان 1 والصورة 1، مستمرة)
2. هل الدالة ⁦h(x) = 1 / x⁩ مستمرة عند 0؟ (غير معرفة عند 0 فلا معنى للاستمرارية)
3. عين ⁦a⁩ لتكون الدالة ⁦f(x) = x + 2⁩ من أجل ⁦x < 1⁩ و⁦f(x) = a x⁩ من أجل ⁦x ≥ 1⁩ مستمرة عند 1. (⁦a = 3⁩)

نصائح

• ابدأ دائما بالنهاية من اليمين ومن اليسار منفصلتين.
• لا تنس حساب الصورة ⁦f(x₀)⁩.
• لا تعمم استمرارية نقطة على مجال كامل دون إثبات.

أخطاء شائعة

• الاكتفاء بحساب نهاية واحدة.
• الخلط بين النهاية والصورة.
• القول إن الدالة مستمرة عند نقطة لا تنتمي إلى مجموعة تعريفها.

الشرح المصوّر

لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ كساسي في فيديو «الدرس 8: درس الاستمرارية أقوى وأبسط شرح، بكالوريا» هذا الدرس في نحو تسع وعشرين دقيقة.