في وحدة عموميات حول الدوال للسنة الثانية ثانوي (الشعب العلمية) درس دساتير تغيير معلم، وهو درس مهم لأنه أساس الدرس الذي يليه مباشرة: محور تناظر ومركز تناظر منحنى دالة. والفكرة أننا نختار معلما جديدا مناسبا فتصير الدراسة أسهل. تعرض الصفحة العلاقات مع أمثلة، وتنتهي بتمارين.
المعلم المتعامد والمتجانس
المعلم (O ; i , j) الذي عرفته من الطور المتوسط متعامد لأن المحورين يشكلان زاوية قائمة، ومتجانس لأن وحدة الطول على المحورين واحدة.
معلم جديد
نرسم معلما آخر متعامدا ومتجانسا أيضا له المبدأ Ω (أوميغا) والشعاعان i وj نفسهما، فنسميه (Ω ; i , j). ويعني ذلك أن محوريه موازيان لمحوري المعلم الأول بالاتجاه نفسه، وإنما تغير المبدأ فقط (انسحاب).
نفرض أن إحداثيتي Ω في المعلم القديم هما (x₀ , y₀).
الدساتير
لتكن M نقطة من المستوي:
- إحداثياها في المعلم القديم:
(x , y). - إحداثياها في المعلم الجديد:
(X , Y).
العلاقة بينهما:
x = X + x₀ وy = Y + y₀
أو بالعكس:
X = x - x₀ وY = y - y₀
وفكرة الإثبات: إسقاط النقطة M على محوري المعلمين ثم الجمع الشعاعي OM = OΩ + ΩM.
جدول الخلاصة
| المعلم | المبدأ | إحداثيا M |
|---|---|---|
القديم (O ; i , j) |
O |
(x , y) |
الجديد (Ω ; i , j) |
Ω(x₀ , y₀) |
(X , Y) |
مثال 1: إيجاد الإحداثيات الجديدة
Ω(2 , 3) مبدأ المعلم الجديد، والنقطة M إحداثياها (5 , 7) في المعلم القديم. ما إحداثياها في الجديد؟
X = 5 - 2 = 3 وY = 7 - 3 = 4. إذن M(3 , 4) في المعلم الجديد.
مثال 2: معادلة منحن في المعلم الجديد
المنحنى (C) معادلته y = x² - 4x + 5 في المعلم القديم. نريد معادلته في المعلم الذي مبدؤه Ω(2 , 1).
- نعوض:
x = X + 2وy = Y + 1. Y + 1 = (X + 2)² - 4(X + 2) + 5.Y + 1 = X² + 4X + 4 - 4X - 8 + 5 = X² + 1.- إذن
Y = X².
المنحنى في المعلم الجديد هو القطع المكافئ Y = X² المعروف، وهذا يبين أن رأسه عند Ω.
فائدة الدرس
اختيار معلم جديد يبسط المعادلة، فنقرأ بسهولة:
- محور التناظر: إذا صارت المعادلة زوجية (
Y = f(X)معf(-X) = f(X)) فالمنحنى متناظر بالنسبة لمحور التراتيب الجديد. - مركز التناظر: إذا صارت فردية (
f(-X) = -f(X)) فالمنحنى متناظر بالنسبة للمبدأΩ.
وهذا ما سنحتاجه في درس محور ومركز التناظر.
تمارين
Ω(-1 , 4)، وM(2 , 6)في القديم. أوجد(X , Y). (X = 3وY = 2)- أوجد
(x , y)للنقطة التي إحداثياها(X , Y) = (1 , -2)إذا كانΩ(3 , 5). (x = 4وy = 3) - معادلة منحن
y = (x - 1)²في المعلم القديم. ما معادلته إذا اخترناΩ(1 , 0)؟ (Y = X²)
نصائح
- اكتب إحداثيي
Ωأولا ثم عوض. - انتبه إلى عبارة (القديم) و(الجديد) لتحديد الاتجاه.
- بعد التعويض بسط العبارة دائما.
أخطاء شائعة
- عكس العلاقة، فتكتب
X = x + x₀. - نسيان تعويض
xوyمعا. - الخلط بين مبدأ المعلم القديم والجديد.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ سليم مختارة في فيديو «الدرس 09: دساتير تغيير معلم للسنة الثانية ثانوي (الشعب العلمية)» هذا الدرس في نحو تسع عشرة دقيقة.