مكتسبات النهايات والمستقيمات المقاربة للبكالوريا: نهايات كثيرات الحدود والدوال الناطقة والمقارب الأفقي والعمودي والمائل

حين يبدأ تلميذ البكالوريا بدورة المكتسبات القبلية في الرياضيات، فأول ما ينبغي إتقانه هو النهايات والمستقيمات المقاربة التي درست في السنة الثانية ثانوي، وهي مطلوبة في كل موضوع. ولا نتناول هنا حالات عدم التعيين لأنها تعاد في السنة النهائية. تعرض الصفحة الأفكار الأساسية بأمثلة محلولة، وتنتهي بتمارين.

1. نهاية كثير حدود عند ما لا نهاية

نهاية كثير حدود عند ⁦+∞⁩ أو ⁦-∞⁩ هي نهاية حده الأعلى درجة.

أمثلة:

• ⁦lim (3x² - 5x + 1) = lim 3x² = +∞⁩ عند ⁦+∞⁩ وعند ⁦-∞⁩ (لأن ⁦x²⁩ موجب).
• ⁦lim (-2x³ + x) = lim -2x³⁩: عند ⁦+∞⁩ النهاية ⁦-∞⁩، وعند ⁦-∞⁩ النهاية ⁦+∞⁩.

2. نهاية دالة ناطقة عند ما لا نهاية

نهاية دالة ناطقة عند ⁦±∞⁩ هي نهاية حاصل قسمة الحدين الأعلى درجة في البسط والمقام.

مثال: ⁦f(x) = (2x² + 1) / (x² - 3)⁩.

⁦lim f(x) = lim (2x² / x²) = 2⁩ عند ⁦±∞⁩.

مثال آخر: ⁦g(x) = (x³ + 2) / (x² + 1)⁩.

⁦lim g(x) = lim (x³ / x²) = lim x = ±∞⁩.

3. نهاية دالة ناطقة عند قيمة يؤول فيها المقام إلى الصفر

نحسب نهاية البسط ونهاية المقام، وندرس إشارة المقام من جهتي القيمة:

مثال: ⁦h(x) = 1 / (x - 2)⁩.

• عند ⁦2⁩ من اليمين: المقام ⁦0⁺⁩ فالنهاية ⁦+∞⁩.
• عند ⁦2⁩ من اليسار: المقام ⁦0⁻⁩ فالنهاية ⁦-∞⁩.

4. المستقيم المقارب الأفقي

إذا كانت ⁦lim f(x) = L⁩ عند ⁦+∞⁩ أو عند ⁦-∞⁩ فإن المستقيم ⁦y = L⁩ مقارب أفقي لمنحنى ⁦f⁩.

مثال: في ⁦f(x) = (2x² + 1)/(x² - 3)⁩ نجد أن ⁦y = 2⁩ مقارب أفقي.

5. المستقيم المقارب العمودي

إذا كانت ⁦lim f(x) = ±∞⁩ عند ⁦a⁩ (من جهة أو الجهتين) فإن المستقيم ⁦x = a⁩ مقارب عمودي.

مثال: ⁦x = 2⁩ مقارب عمودي للدالة ⁦1/(x - 2)⁩.

6. المستقيم المقارب المائل

المستقيم ⁦y = ax + b⁩ مقارب مائل لمنحنى ⁦f⁩ عند ⁦+∞⁩ إذا كانت: ⁦lim [f(x) - (ax + b)] = 0⁩ عندما يؤول ⁦x⁩ إلى ⁦+∞⁩.

مثال: إثبات مقارب مائل

لتكن ⁦f(x) = (x² + 1)/(x - 1)⁩.

1. نقسم قسمة بسيطة: ⁦x² + 1 = (x - 1)(x + 1) + 2⁩، فـ ⁦f(x) = x + 1 + 2/(x - 1)⁩.
2. ⁦f(x) - (x + 1) = 2/(x - 1)⁩.
3. ⁦lim 2/(x - 1) = 0⁩ عند ⁦±∞⁩.
4. إذن المستقيم ⁦y = x + 1⁩ مقارب مائل عند ⁦+∞⁩ وعند ⁦-∞⁩.

وضعية المنحنى بالنسبة للمقارب

ندرس إشارة ⁦f(x) - (x + 1) = 2/(x - 1)⁩:

• من أجل ⁦x > 1⁩ الفرق موجب: المنحنى فوق المقارب.
• من أجل ⁦x < 1⁩ الفرق سالب: المنحنى تحت المقارب.

جدول الخلاصة

تمارين

1. احسب ⁦lim (x² - 4x)⁩ عند ⁦+∞⁩. (⁦+∞⁩)
2. احسب ⁦lim (3x + 1)/(x - 2)⁩ عند ⁦+∞⁩. (⁦3⁩)
3. ما المقارب العمودي لـ ⁦1/(x + 3)⁩؟ (⁦x = -3⁩)
4. بين أن ⁦y = 2x⁩ مقارب مائل لـ ⁦(2x² + 1)/x⁩. (الفرق ⁦1/x⁩ يؤول إلى 0)

نصائح

• لا تحسب نهاية دالة ناطقة بالتعويض عندما يظهر مقام معدوم دون دراسة الإشارة.
• ابدأ بتحليل الحد الأعلى درجة.
• لإثبات مقارب مائل اكتب الفرق ثم احسب نهايته.

أخطاء شائعة

• القول إن نهاية الفرق تساوي نهاية كل حد.
• نسيان دراسة إشارة المقام.
• الخلط بين المقارب الأفقي والمائل.

الشرح المصوّر

لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، تقدم قناة Maths.07 في فيديو «مكتسبات الرياضيات بكالوريا: شرح جميع مكتسبات النهايات والمستقيمات المقاربة» هذا الدرس في نحو خمس وخمسين دقيقة.