أول دروس الرياضيات في السنة الأولى ثانوي هو المجموعات الأساسية للأعداد، وهو درس بسيط لكنه مهم، يظهر في الفرض الأول وقد يظهر في الاختبار الأول. تعرف التلميذ إلى الأعداد منذ الابتدائي حين تعلم العد، ثم الأعداد العشرية، ثم الكسور، ثم الأعداد السالبة. وفي هذا الدرس ننظم هذه المعلومات في مجموعات لكل منها رمزها. تعرض الصفحة كل مجموعة وحدودها مع أمثلة، وتنتهي بتمارين.
1. مجموعة الأعداد الطبيعية N
الأعداد المستعملة في العد:
0 ، 1 ، 2 ، 3 ، ...
هي الأعداد الصحيحة الموجبة مع الصفر، أي بلا فاصلة ولا إشارة سالبة.
مثال: 4 و25 و100 و0 كلها طبيعية. أما -3 فليس طبيعيا (سالب)، و2.5 ليس طبيعيا (فيه فاصلة).
2. مجموعة الأعداد الصحيحة Z
الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة مع الصفر:
... ، -2 ، -1 ، 0 ، 1 ، 2 ، ...
رمزها Z من الكلمة الألمانية. فـ-7 ينتمي إلى Z ولا ينتمي إلى N.
3. مجموعة الأعداد العشرية D
هي الأعداد التي يمكن كتابتها على الشكل
a / 10ⁿحيثaعدد صحيح وnعدد طبيعي.
وتتميز بأن كتابتها بعد الفاصلة منتهية: 5.42 و-0.75 و3. فكل عدد صحيح عشري، لأنه يكتب 3 = 3/10⁰.
4. مجموعة الأعداد الناطقة Q
هي الأعداد التي تكتب على الشكل
a / bحيثaعدد صحيح وbعدد صحيح غير معدوم.
مثال: 3/2 و-5/7 و1/3. ويمثل الكسر 1/3 = 0.333... عددا ناطقا مع أن كتابته العشرية غير منتهية، لكنها دورية.
5. مجموعة الأعداد الحقيقية R
هي كل الأعداد المألوفة، وتضم الناطقة وغير الناطقة (الصماء) مثل
sqrt(2)وπ.
فالعدد غير الناطق كتابته العشرية غير منتهية وغير دورية.
تسلسل الاحتواء
كل مجموعة تحتوي سابقتها:
N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R
ومعنى ذلك أن كل عدد طبيعي هو صحيح، وكل صحيح هو عشري، وكل عشري هو ناطق، وكل ناطق هو حقيقي.
رمزا الانتماء
∈يقرأ ينتمي إلى.∉يقرأ لا ينتمي إلى.
مثال: 0 ∈ N و-3 ∉ N و-3 ∈ Z و1/3 ∉ D و1/3 ∈ Q.
أصغر مجموعة ينتمي إليها العدد
يطلب كثيرا تعيين أصغر مجموعة (من هذه المجموعات) ينتمي إليها عدد. ننظر من اليسار إلى اليمين:
| العدد | أصغر مجموعة | السبب |
|---|---|---|
5 |
N |
صحيح موجب |
-8 |
Z |
صحيح سالب |
2.75 |
D |
كتابة منتهية بعد الفاصلة |
1/3 |
Q |
كتابة دورية غير منتهية |
sqrt(2) |
R |
غير ناطق |
sqrt(9) |
N |
يساوي 3 |
لاحظ المثال الأخير: لا بد من تبسيط العدد قبل الحكم.
تمارين
- عين أصغر مجموعة ينتمي إليها العدد
-4/2. (يساوي-2فهو فيZ) - هل
0.5عدد طبيعي؟ (لا، هو عشريD) - ضع
∈أو∉:π ... Q. (∉) - ما أصغر مجموعة لـ
7/4؟ (Dلأن7/4 = 1.75)
نصائح
- بسط العدد دائما قبل تحديد مجموعته.
- احفظ سلسلة الاحتواء لتحكم بسرعة.
- تذكر أن الصفر ينتمي إلى
N.
أخطاء شائعة
- القول إن الكسر
1/3عشري. - الاعتقاد أن
sqrt(9)عدد غير ناطق. - نسيان أن العدد السالب لا ينتمي إلى
N.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ سليم مختارة في فيديو «الدرس 01: رياضيات أولى ثانوي، المجموعات الأساسية للأعداد N وZ وD وQ وR» هذا الدرس في نحو تسع وعشرين دقيقة.