تأتي هذه المسألة كثيرا في الفرض وفي الاختبار لتلاميذ السنة الأولى ثانوي: كيف نحول كتابة عشرية دورية إلى كتابة كسرية؟ ويوجد عدة طرق، وهذه الصفحة تعرض أبسطها مع كل الحالات الممكنة، وتنتهي بتمارين.
ما الكتابة العشرية الدورية؟
هي كتابة عشرية غير منتهية يتكرر فيها عدد أو أكثر من الأرقام بلا نهاية. ونضع خطا فوق (أو تحت) الأرقام المتكررة، ويسمى ما يتكرر الدور.
| الكتابة | الدور | معناها |
|---|---|---|
1.363636... |
36 (رقمان) |
1.36 مع خط على 36 |
5.1222... |
2 (رقم واحد) |
5.12 مع خط على 2 |
14.535353... |
53 (رقمان) |
14.53 مع خط على 53 |
2.253253... |
253 (ثلاثة أرقام) |
2.253 مع خط على الدور |
فالدور يتغير من كتابة إلى أخرى، وطوله قد يكون رقما أو رقمين أو أكثر.
وكل كتابة عشرية دورية تمثل عددا ناطقا يمكن تحويله إلى كسر. أما الكتابة غير المنتهية وغير الدورية (مثل π) فلا تمثل عددا ناطقا.
القاعدة العامة
كل عدد ناطق دوري يمكن تحويله إلى كسر بالضرب في قوى العدد 10 ثم الطرح للتخلص من الجزء الدوري.
وللدور حالتان:
- الدور المباشر: يبدأ الدور مباشرة بعد الفاصلة.
- الدور غير المباشر: يوجد أرقام غير دورية بعد الفاصلة قبل أن يبدأ الدور.
الحالة الأولى: الدور المباشر
مثال: تحويل 1.363636...
- نسمي العدد
x = 1.363636.... - الدور مكون من رقمين، فنضرب في
100:100x = 136.3636.... - نطرح الأول من الثاني:
100x - x = 136.3636... - 1.3636...فيتلاشى الجزء الدوري. 99x = 135.x = 135 / 99 = 15 / 11(بعد الاختزال على 9).
قاعدة: نضرب في 10 أس عدد أرقام الدور.
مثال: تحويل 0.777...
x = 0.777... و10x = 7.777...، فـ9x = 7 وx = 7/9.
الحالة الثانية: الدور غير المباشر
مثال: تحويل 5.1222...
هنا الرقم 1 غير دوري، والدور هو 2.
x = 5.1222....- نضرب في
10لننقل الفاصلة قبل الدور:10x = 51.222.... - ثم نضرب في
100لننقلها بعد دورة واحدة:100x = 512.222.... - نطرح:
100x - 10x = 512.222... - 51.222...فنجد90x = 461. x = 461 / 90.
قاعدة: نضرب مرتين، الأولى لننقل الفاصلة قبل الدور مباشرة، والثانية بعد دور كامل، ثم نطرح.
مثال: تحويل 14.535353...
الدور 53 بعد الفاصلة مباشرة: 100x = 1453.5353...، و100x - x = 1453.5353... - 14.5353...، فـ99x = 1439، وx = 1439 / 99.
ملخص الطريقة
| الخطوة | ما نفعله |
|---|---|
| 1 | نسمي العدد x ونحدد الدور |
| 2 | نضرب في 10ⁿ لنجعل الفاصلة بعد دور كامل |
| 3 | نضرب في 10ᵐ لنجعلها قبل الدور (في الحالة غير المباشرة) |
| 4 | نطرح المعادلتين لإزالة الجزء الدوري |
| 5 | نقسم لنجد x ثم نختزل |
تمارين
- حول
0.333...إلى كسر. (1/3) - حول
2.4545...إلى كسر. (27/11) - حول
0.1666...إلى كسر. (1/6) - ما الدور في
3.27777...؟ (7، والدور غير مباشر)
نصائح
- حدد الدور بدقة قبل الضرب.
- اختزل الكسر النهائي دائما.
- تحقق بالقسمة على الآلة الحاسبة.
أخطاء شائعة
- الضرب في
10فقط عند وجود دور من رقمين. - نسيان الفرق بين الدور المباشر وغير المباشر.
- عدم اختزال الكسر.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ سليم مختارة في فيديو «الدرس 02: كيف نحول الكتابة العشرية الدورية إلى كسر؟ أولى ثانوي» هذا الدرس في نحو خمس عشرة دقيقة.