الأعداد القابلة للإنشاء وإنشاء عدد ناطق للسنة الأولى ثانوي: الفرجار والمسطرة وطريقة طالس

في درس الأعداد والحساب للسنة الأولى ثانوي (جذع مشترك علوم وتكنولوجيا) يطرح سؤال مثير: أي الأعداد الحقيقية يمكن رسمها فعلا على مستقيم مدرج باستعمال المسطرة والفرجار فقط؟ نسمي هذه الأعداد قابلة للإنشاء. والإجابة تربط الجبر بالهندسة، وتكشف أن الأعداد الناطقة والجذور التربيعية في المتناول، بينما بعض الأعداد الأخرى (مثل جذر تكعيبي معين) مستحيلة الإنشاء. ورغم أن الدرس يبدو نظريا، فإنه ينتهي بتمارين إنشائية مباشرة في الاختبار. تعرض الصفحة الطرق الأساسية مع أمثلة.

ما المقصود بالإنشاء؟

نقول إن عددا ⁦x⁩ قابل للإنشاء إذا أمكن، انطلاقا من القطعة وحدة الطول (من ⁦0⁩ إلى ⁦1⁩)، إنشاء قطعة طولها ⁦|x|⁩ باستعمال مسطرة غير مدرجة (لرسم المستقيمات) وفرجار (لرسم الدوائر ونقل الأطوال) فقط.

الأعداد الصحيحة

كل عدد صحيح قابل للإنشاء: نضع الفرجار على الصفر بفتحة طول الوحدة ونكرر نقل الوحدة على المستقيم إلى جهة اليمين لـ⁦1, 2, 3⁩ ... وإلى جهة اليسار للسالبة.

جمع وطرح عددين قابلين للإنشاء

إذا كان ⁦a⁩ و⁦b⁩ قابلين للإنشاء فإن ⁦a + b⁩ و⁦a - b⁩ قابلان للإنشاء، بنقل الطول ⁦b⁩ على المستقيم انطلاقا من نهاية ⁦a⁩ مرة في الاتجاه نفسه ومرة في العكس.

الأعداد الناطقة: خاصية طالس

لإنشاء عدد ناطق ⁦p / q⁩:

1. نرسم مستقيمين متقاطعين في ⁦O⁩.
2. على المستقيم الأول نعين نقطتين ⁦I⁩ (حيث ⁦OI = 1⁩) و⁦A⁩ حيث ⁦OA = p⁩.
3. على المستقيم الثاني نعين ⁦B⁩ حيث ⁦OB = q⁩.
4. نرسم من ⁦I⁩ مستقيما موازيا لـ⁦(AB)⁩... وفق الحالة المطلوبة.

الطريقة العملية لإنشاء ⁦a × b⁩ و⁦a / b⁩

الجداء ⁦a × b⁩:

1. على مستقيم أول: ⁦OI = 1⁩ و⁦OA = a⁩.
2. على مستقيم ثان مار من ⁦O⁩: ⁦OB = b⁩.
3. نصل ⁦I⁩ بـ⁦B⁩، ونرسم من ⁦A⁩... بالتوازي مع ⁦(IB)⁩ فيقطع المستقيم الثاني في ⁦C⁩.
4. بخاصية طالس: ⁦OC / OB = OA / OI⁩، أي ⁦OC = a × b⁩.

القسمة ⁦a / b⁩:

1. على مستقيم أول: ⁦OB = b⁩ و⁦OA = a⁩.
2. على المستقيم الثاني: ⁦OI = 1⁩.
3. نصل ⁦B⁩ بـ⁦I⁩ ثم نرسم من ⁦A⁩ موازيا لـ⁦(BI)⁩ فيقطع الثاني في ⁦C⁩.
4. بطالس: ⁦OC / OI = OA / OB⁩، أي ⁦OC = a / b⁩.

النتيجة: كل عدد ناطق قابل للإنشاء.

مثال (1): إنشاء ⁦3/5⁩

نعين ⁦OA = 3⁩ على مستقيم و⁦OB = 5⁩، و⁦OI = 1⁩ على مستقيم آخر، ثم نرسم موازي ⁦(BI)⁩ من ⁦A⁩. نقطة التقاطع ⁦C⁩ تعطي ⁦OC = 3/5⁩.

الجذور التربيعية

بمبرهنة فيثاغورس

إذا أمكن إنشاء ⁦a⁩ فيمكن إنشاء ⁦√(a² + 1)⁩، لأنه وتر مثلث قائم ضلعاه القائمان ⁦a⁩ و⁦1⁩. وبتكرار الطريقة نبني ⁦√2⁩ ثم ⁦√3⁩ ثم ⁦√4⁩ ... وهي طريقة الحلزون:

• ⁦√2⁩: وتر مثلث قائم ضلعاه 1 و1.
• ⁦√3⁩: وتر مثلث قائم ضلعاه ⁦√2⁩ و1.
• وهكذا.

بالمتوسط الهندسي (لأي عدد موجب ⁦a⁩)

لإنشاء ⁦√a⁩:

1. نضع على مستقيم ⁦[AB]⁩ حيث ⁦AB = a + 1⁩ ونقطة ⁦H⁩ عليه بحيث ⁦AH = a⁩ و⁦HB = 1⁩.
2. نرسم نصف الدائرة التي قطرها ⁦[AB]⁩.
3. نقيم من ⁦H⁩ عمودا على ⁦[AB]⁩ يقطع نصف الدائرة في ⁦M⁩.
4. في المثلث القائم ⁦AMB⁩: ⁦HM² = AH × HB = a × 1 = a⁩.
5. إذن ⁦HM = √a⁩.

العدد الذهبي

العدد الذهبي ⁦φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1.618⁩ قابل للإنشاء:

1. نرسم مربعا ضلعه 2 (أو نتخذ مثلثا قائما ضلعاه 1 و2).
2. الوتر يساوي ⁦√5⁩ بفيثاغورس.
3. نجمع 1 إلى ⁦√5⁩ ثم نقسم على 2 بخاصية طالس أو بإنشاء منتصف قطعة.

وله استعمالات في فن العمارة والرسم.

الأعداد المستحيلة الإنشاء

أثبتت الرياضيات الحديثة أن بعض المسائل التاريخية مستحيلة بالمسطرة والفرجار:

وهذا درس عن حدود الأدوات أكثر منه عن الحساب.

أنواع الأعداد القابلة للإنشاء

وبذلك فالمجموعة تتسع من الناطقة إلى ما تعطيه سلسلة من الجذور التربيعية.

ملخص مفاهيمي

الأعداد الناطقة والجذور التربيعية المتتالية هي «العالم المتاح» للمسطرة والفرجار. كل عملية من الجمع والطرح والضرب والقسمة وأخذ الجذر التربيعي تبقينا داخل هذا العالم، ولهذا يسمى الاستدلال هنا هندسيا جبريا. أما العمليات الأعقد، كالجذر التكعيبي، فتخرج منه. وكلما استعملت في الامتحان إنشاء ما فاذكر العملية الجبرية التي ينفذها كل رسم.

أخطاء شائعة

• الخلط بين الإنشاء الهندسي والحساب العددي، فالإنشاء يستعمل أدوات محددة فقط.
• نسيان ذكر خاصية طالس أو فيثاغورس لتبرير كل خطوة.
• استعمال المسطرة المدرجة، وهي ممنوعة في الإنشاءات الكلاسيكية.
• رسم زاوية قائمة بالمنقلة بدل الإنشاء بالفرجار.

تمارين للتدرب

1. أنشئ العدد ⁦7/4⁩.
2. أنشئ ⁦√5⁩ بطريقتين.
3. أنشئ ⁦√6⁩ بالمتوسط الهندسي.
4. أنشئ العدد ⁦1 + √2⁩.

نصائح

• اكتب في ورقة الحل تعليل كل خطوة بالخاصية المناسبة.
• ارسم بخط خفيف وبدقة مع إبقاء آثار الفرجار.
• راجع خاصية طالس وفيثاغورس فهما أساس هذا الدرس.

الشرح المصوّر

لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ كساسي رياضيا في فيديو «الأعداد القابلة للإنشاء: إنشاء عدد ناطق، للسنة أولى ثانوي» هذا الدرس.