الدوال الناطقة (أو التناظرية) هي أكثر الدوال اقتراحا في بكالوريا شعبتي الآداب والفلسفة واللغات الأجنبية، وتحمل في الغالب حوالي 8 نقاط من الموضوع. والدراسة تتبع خطوات ثابتة إذا أتقنها التلميذ حصل على النقطة كاملة. تعرض الصفحة هذه الخطوات على مثال محلول، وتنتهي بنصائح.
تعريف
الدالة الناطقة دالة مقامها كثير حدود، معرفة على
Rما عدا القيم التي ينعدم عندها المقام.
المثال
لتكن الدالة f المعرفة على R ما عدا 1 بـ:
f(x) = (2x + 1) / (x - 1)
1. مجموعة التعريف
نحل: x - 1 = 0 فنجد x = 1. إذن:
Df = ]-inf , 1[ ∪ ]1 , +inf[
ويُكتب المجال مباشرة بالشكل المفتوح، فنضع القيمة الممنوعة فاصلا بين مجالين. ولا نغير أشكال الأقواس: فتحة عند 1 من الجهتين.
2. حساب النهايات (أربع نهايات)
عند كل طرف من أطراف مجموعة التعريف نحسب نهاية، فنحصل على أربع نهايات في المثال:
عند -inf وعند +inf
نأخذ الحد الأعلى درجة في البسط وفي المقام:
lim f(x) = lim (2x / x) = 2 عند +inf وعند -inf.
عند 1 من اليمين ومن اليسار
- البسط يؤول إلى
2 × 1 + 1 = 3(موجب). - المقام يؤول إلى
0: من اليمين (x > 1) يؤول إلى0⁺، ومن اليسار (x < 1) إلى0⁻.
إذن: lim f(x) = +inf من اليمين، وlim f(x) = -inf من اليسار.
3. المستقيمات المقاربة
| النهاية | النتيجة |
|---|---|
lim f(x) = 2 عند ±inf |
المستقيم y = 2 مقارب أفقي |
lim f(x) = ±inf عند 1 |
المستقيم x = 1 مقارب عمودي |
4. الاشتقاق واتجاه التغير
نشتق باستعمال قاعدة قسمة دالتين (u/v)' = (u'v - uv') / v²:
f'(x) = [2(x - 1) - (2x + 1)] / (x - 1)² = (2x - 2 - 2x - 1) / (x - 1)² = -3 / (x - 1)²
المقام مربع فهو موجب دائما، والبسط -3 سالب، إذن f'(x) < 0 على مجموعة التعريف.
الدالة f متناقصة تماما على كل من ]-inf , 1[ و]1 , +inf[.
5. جدول التغيرات
x |
-inf |
1 | +inf |
||
|---|---|---|---|---|---|
f'(x) |
سالبة | ||||
f(x) |
2 ↘ -inf |
(الشرطتان تدلان على القيمة الممنوعة 1.)
6. مركز التناظر
تقبل الدالة الناطقة من الشكل السابق مركز تناظر هو نقطة تقاطع المقاربين Ω(1 ; 2).
للبرهان: ننتقل إلى معلم جديد مبدؤه Ω: x = X + 1 وy = Y + 2، فنجد Y = 3 / X وهي دالة فردية، إذن المنحنى متناظر بالنسبة إلى Ω.
7. نقاط مساعدة للرسم
x |
-2 | 0 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|---|
f(x) |
1 | -1 | 5 | 3 |
ونقطة التقاطع مع محور الفواصل: f(x) = 0 عند x = -1/2.
ملخص خطوات الدراسة
- مجموعة التعريف.
- النهايات عند الأطراف والمقاربات.
- المشتقة وإشارتها.
- جدول التغيرات.
- مركز التناظر (إن طلب).
- نقاط مساعدة ثم الرسم.
نصائح
- اكتب مجموعة التعريف بشكل مباشر ومرتب كي تحصل على النقطة الأولى.
- خذ في النهايات الحد الأعلى درجة فقط عند ما لا نهاية.
- احسب نهاية كل جهة عند القيمة الممنوعة بدراسة إشارة المقام.
أخطاء شائعة
- نسيان القيمة الممنوعة في مجموعة التعريف.
- كتابة نهاية واحدة عند القيمة الممنوعة.
- أخذ إشارة المشتقة دون مراعاة المقام المربع.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ حسين في فيديو «درس الدوال الناطقة، رياضيات الشعب الأدبية، بكالوريا 2025 ضمن 8 نقاط» هذا الدرس في نحو عشرين دقيقة.