مبرهنة النهاية بالحصر والمقارنة للبكالوريا: شروط المبرهنتين وحساب نهايات الدوال المثلثية خطوة بخطوة

في محور الدوال العددية للبكالوريا، وبعد حساب النهايات وإزالة حالات عدم التعيين ونهاية مركب دالتين، يأتي درس مبرهنة النهاية بالحصر والمقارنة. وتوظف هذه المبرهنات خصوصا عندما تظهر الدوال المثلثية (الجيب وجيب التمام)، لأن لهذه الدوال حدين معروفين، فلا نهاية لها عند ما لا نهاية. تعرض الصفحة المبرهنتين مع أمثلة، وتنتهي بتمارين.

مبرهنة الحصر

لتكن ⁦f⁩ و⁦g⁩ و⁦h⁩ ثلاث دوال، و⁦a⁩ عددا حقيقيا أو ⁦+∞⁩ أو ⁦-∞⁩، و⁦L⁩ عددا حقيقيا. إذا كان من أجل ⁦x⁩ قريب من ⁦a⁩:

⁦g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)⁩

وكانت:

⁦lim g(x) = lim h(x) = L⁩ عندما يؤول ⁦x⁩ إلى ⁦a⁩

فإن:

⁦lim f(x) = L⁩

المعنى: إذا حصرت دالة بين دالتين لهما النهاية نفسها فإن الدالة المحصورة لها هذه النهاية أيضا.

مبرهنات المقارنة

الحالة الأولى: نهاية ⁦+∞⁩

إذا كان ⁦f(x) ≥ g(x)⁩ وكانت ⁦lim g(x) = +∞⁩ فإن ⁦lim f(x) = +∞⁩.

الحالة الثانية: نهاية ⁦-∞⁩

إذا كان ⁦f(x) ≤ g(x)⁩ وكانت ⁦lim g(x) = -∞⁩ فإن ⁦lim f(x) = -∞⁩.

المعنى: دالة أكبر من دالة تؤول إلى ⁦+∞⁩ فهي تؤول إلى ⁦+∞⁩، ودالة أصغر من دالة تؤول إلى ⁦-∞⁩ فهي تؤول إلى ⁦-∞⁩. ونحتاج دالة واحدة فقط، بخلاف الحصر.

الفرق بين الحصر والمقارنة

مثال 1: حساب ⁦lim sin(x) / x⁩ عند ⁦+∞⁩

نعلم أن: ⁦-1 ≤ sin(x) ≤ 1⁩.

نقسم على ⁦x > 0⁩: ⁦-1/x ≤ sin(x)/x ≤ 1/x⁩.

و⁦lim (-1/x) = 0⁩ و⁦lim (1/x) = 0⁩ عند ⁦+∞⁩.

بمبرهنة الحصر: ⁦lim sin(x)/x = 0⁩ عند ⁦+∞⁩.

مثال 2: حساب ⁦lim (x + cos x)⁩ عند ⁦+∞⁩

نعلم أن: ⁦cos x ≥ -1⁩، فإن ⁦x + cos x ≥ x - 1⁩.

و⁦lim (x - 1) = +∞⁩ عند ⁦+∞⁩.

بمبرهنة المقارنة: ⁦lim (x + cos x) = +∞⁩.

مثال 3: حساب ⁦lim (2x² + sin x)⁩ عند ⁦+∞⁩

لدينا ⁦sin x ≥ -1⁩، فـ⁦2x² + sin x ≥ 2x² - 1⁩، و⁦lim (2x² - 1) = +∞⁩.

إذن ⁦lim (2x² + sin x) = +∞⁩.

خطوات الاستعمال

1. حدد الدالة المثلثية أو المحدودة داخل العبارة.
2. اكتب حصرها: ⁦-1 ≤ cos x ≤ 1⁩ أو ⁦-1 ≤ sin x ≤ 1⁩.
3. ركب الحصر (اضرب أو اقسم أو أضف) للوصول إلى عبارة الدالة المطلوبة.
4. احسب نهايتي الدالتين على الطرفين.
5. طبق مبرهنة الحصر أو المقارنة واستنتج.

وانتبه عند الضرب أو القسمة بعدد سالب: اتجاه المتباينة ينعكس. ولذلك نحدد إشارة ⁦x⁩ قبل القسمة.

تمارين

1. احسب ⁦lim cos(x) / x⁩ عند ⁦+∞⁩. (النتيجة 0 بالحصر)
2. احسب ⁦lim (x - sin x)⁩ عند ⁦+∞⁩. (النتيجة ⁦+∞⁩ بالمقارنة لأن ⁦-sin x ≥ -1⁩)
3. احسب ⁦lim (3 + cos x) / x²⁩ عند ⁦+∞⁩. (النتيجة 0 لأن العبارة محصورة بين 2/x² و4/x²)

نصائح

• ابدأ دائما بالحصر الأساسي للجيب وجيب التمام.
• تأكد من إشارة المتغير قبل القسمة.
• لا تستعمل الحصر إلا عندما تتساوى نهايتا الطرفين.

أخطاء شائعة

• القول إن ⁦lim sin x⁩ عند ⁦+∞⁩ يساوي 0 أو يساوي 1.
• نسيان عكس المتباينة عند الضرب في سالب.
• استعمال الحصر دون التحقق من تساوي النهايتين.

الشرح المصوّر

لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ كساسي في فيديو «الدرس 6: مبرهنة النهاية بالحصر والمقارنة، بكالوريا» هذا الدرس في نحو اثنتين وثلاثين دقيقة.