الدرس الخامس من المقطع الأول في رياضيات السنة الثانية متوسط هو خاصية توزيع الضرب على الجمع والطرح، وهي من أهم خواص العمليات. فهي تسهل الحساب الذهني وتؤسس الجبر الذي سيدرسه التلميذ لاحقا. تعرض الصفحة الخاصية وتطبيقاتها، وتنتهي بتمارين.
الخاصية
لتكن a وb وc أعدادا:
- توزيع الضرب على الجمع:
a × (b + c) = a × b + a × c - توزيع الضرب على الطرح:
a × (b - c) = a × b - a × c
أمثلة
3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15 = 27، وهو نفس3 × 9 = 27.7 × (10 - 2) = 70 - 14 = 56.5 × (20 + 3) = 100 + 15 = 115.
نوعان من الاستعمال
1. النشر
النشر هو تحويل جداء إلى مجموع أو فرق.
4 × (x + 3) = 4 × x + 4 × 3 = 4x + 12
2. التعميم (التحليل)
التعميم هو العملية العكسية: كتابة مجموع على شكل جداء بإخراج عامل مشترك.
6 × 8 + 6 × 2 = 6 × (8 + 2) = 6 × 10 = 60
5x + 15 = 5 × x + 5 × 3 = 5 × (x + 3)
استعمالها في الحساب الذهني
ضرب في عدد قريب من عدد دائري
99 × 7 = (100 - 1) × 7 = 700 - 7 = 693.102 × 5 = (100 + 2) × 5 = 500 + 10 = 510.19 × 6 = (20 - 1) × 6 = 120 - 6 = 114.
ضرب عددين
13 × 12 = 13 × (10 + 2) = 130 + 26 = 156.25 × 18 = 25 × (20 - 2) = 500 - 50 = 450.
جمع وطرح بالتعميم
37 × 4 + 37 × 6 = 37 × (4 + 6) = 37 × 10 = 370.
الخاصية مع المجاهيل
| العبارة | بعد النشر |
|---|---|
2 × (x + 5) |
2x + 10 |
3 × (y - 4) |
3y - 12 |
-2 × (a + 1) |
-2a - 2 |
x × (x + 3) |
x² + 3x |
الأقواس والإشارات
عند الضرب في عدد سالب تتغير إشارات الحدود: -2 × (x - 3) = -2x + 6.
خطوات النشر والتعميم
النشر
- اضرب العدد الخارجي في كل حد داخل القوس.
- انتبه للإشارات.
- اجمع الحدود المتشابهة.
التعميم
- ابحث عن عامل مشترك بين الحدود.
- اجعله خارج القوس.
- اكتب ما تبقى داخل القوس.
جدول الخلاصة
| العملية | الشكل |
|---|---|
| توزيع | a (b + c) = a b + a c |
| تعميم | a b + a c = a (b + c) |
| حساب ذهني | تفكيك أحد العاملين |
تمارين
- انشر
5 × (x + 2). (5x + 10) - عمم
7 × 3 + 7 × 9. (7 × 12 = 84) - احسب ذهنيا
98 × 4. (392)
نصائح
- وزع على كل الحدود دون نسيان.
- فكك العدد الأقرب إلى عدد دائري.
- تحقق بآلة حاسبة.
أخطاء شائعة
- ضرب الحد الأول فقط داخل القوس.
- نسيان تغيير الإشارات.
- الخلط بين النشر والتعميم.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، تقدم قناة التفوق للطور المتوسط في فيديو «الدرس 5 رياضيات سنة ثانية متوسط: خاصية توزيع الضرب على الجمع والطرح» هذا الدرس في نحو ثلاث عشرة دقيقة.