من أهم قواعد الرياضيات التي ستلازمك من السنة الثانية متوسط إلى الثانوي وما بعده: توزيع الضرب على الجمع والطرح. وهي ليست درسًا صعبًا، لكنها تحتاج إلى أساس متين تبني عليه، فمن فهمها جيدًا اعتمد عليها في الحساب الحرفي في السنوات الأربع القادمة دون عناء. وهي الدرس الثاني في برنامج الرياضيات للسنة الثانية متوسط، بعد الأعداد النسبية. تعرض هذه الصفحة القاعدتين، ثم استعمالهما في اتجاهين، ثم تطبيقها في الحساب الذهني، ثم مع الأعداد النسبية، وتنتهي بأخطاء شائعة وتمارين محلولة.
القاعدتان
لتكن k وa وb أعدادًا. يتوزع الضرب على الجمع والطرح كما يلي:
k × (a + b) = k × a + k × b
k × (a − b) = k × a − k × b
ومعنى ذلك أن العدد k الذي يضرب مجموعًا أو فرقًا يضرب في كل حد منهما على حدة.
مثال:
3 × (4 + 5) = 3 × 9 = 27، وبالتوزيع:3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15 = 27.5 × (8 − 3) = 5 × 5 = 25، وبالتوزيع:5 × 8 − 5 × 3 = 40 − 15 = 25.
وتتحقق النتيجتان نفسهما، وهذا هو سر القاعدة.
الاتجاه الأول: النشر
النشر هو الانتقال من الجداء إلى المجموع أو الفرق:
k × (a + b) → k × a + k × b
أمثلة:
4 × (x + 3) = 4x + 12.2 × (5 − y) = 10 − 2y.7 × (10 + 3) = 70 + 21 = 91.
الاتجاه الثاني: التعميل (إخراج عامل مشترك)
التعميل هو الانتقال من المجموع أو الفرق إلى الجداء، بإخراج العامل المشترك:
k × a + k × b → k × (a + b)
أمثلة:
6 × 7 + 6 × 3 = 6 × (7 + 3) = 6 × 10 = 60.15 × 8 − 15 × 3 = 15 × (8 − 3) = 15 × 5 = 75.
والتعميل مفيد جدًا في تبسيط الحساب، خاصة حين يكون مجموع الحدين مستديرًا.
الحساب الذهني بالتوزيع
نفكك أحد العددين إلى مجموع أو فرق عددين أسهل:
15 × 101 = 15 × (100 + 1) = 1500 + 15 = 1515.34 × 99 = 34 × (100 − 1) = 3400 − 34 = 3366.12 × 25 = 12 × (20 + 5) = 240 + 60 = 300.8 × 52 = 8 × (50 + 2) = 400 + 16 = 416.
التوزيع مع الأعداد النسبية
القاعدة نفسها صحيحة مع الأعداد النسبية (الموجبة والسالبة)، لكن عليك مراعاة قاعدة الإشارات في الضرب:
- جداء عددين من الإشارة نفسها موجب، ومن إشارتين مختلفتين سالب.
أمثلة:
(−3) × (4 + 5) = (−3) × 4 + (−3) × 5 = −12 − 15 = −27.(−2) × (6 − 4) = (−2) × 6 − (−2) × 4 = −12 + 8 = −4.5 × (−3 + 7) = (−15) + 35 = 20.
وفي المثال الثاني يتحول − (−2) × 4 إلى + 8 لأن ضرب سالب في موجب يعطي سالبًا ثم طرح السالب يصير إضافة.
التوزيع مع الأعداد العشرية والكسور
2.5 × (4 + 0.2) = 2.5 × 4 + 2.5 × 0.2 = 10 + 0.5 = 10.5.(1 / 2) × (6 + 4) = (1 / 2) × 6 + (1 / 2) × 4 = 3 + 2 = 5.
أخطاء شائعة
- التوزيع على الحد الأول وحده:
3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 5خطأ. - الخطأ في الإشارة عند الضرب بعدد سالب.
- محاولة توزيع الضرب على الضرب:
3 × (4 × 5)لا نوزعها. - نسيان أن التوزيع على الطرح يعطي طرحًا لا جمعًا.
- إخراج عامل مشترك خاطئ في التعميل.
- نسيان الأقواس عند الكتابة:
k × a + bلا تساويk × (a + b).
تمارين للتدرب
- انشر:
5 × (x + 4)و3 × (2y − 7). - عمّل:
8 × 6 + 8 × 4و9 × 15 − 9 × 5. - احسب ذهنيًا:
16 × 102و27 × 98. - احسب:
(−4) × (3 + 8). - احسب:
(−5) × (7 − 10).
الحلول:
5x + 20و6y − 21.8 × (6 + 4) = 80و9 × (15 − 5) = 90.16 × 100 + 16 × 2 = 1632و27 × 100 − 27 × 2 = 2646.−12 − 32 = −44.(−5) × (−3) = 15.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يشرح الأستاذ سليم مختارة في فيديو «الدرس 03: توزيع الضرب على الجمع والطرح للسنة الثانية متوسط» هذا الدرس في نحو أربع عشرة دقيقة، مشددًا على أنه درس مهم يرافق التلميذ حتى السنة الرابعة متوسط وإلى الثانوي، وأنه ليس صعبًا لكنه يحتاج إلى قاعدة قوية.