الكسور من الموضوعات التي تعود إليك في كل سنة دراسية، وكل مرة يكبر فيها مستواها. وفي السنة الثانية متوسط تتعلم جمع الكسور وطرحها حين يكون المقام نفسه أو يكون مقام أحدهما مضاعفًا لمقام الآخر. والقاعدة بسيطة إذا تذكرت أن الكسر يحافظ على قيمته عندما نضرب بسطه ومقامه في العدد نفسه. تعرض هذه الصفحة تذكيرًا بالكسور المتكافئة، ثم جمع كسرين لهما المقام نفسه، ثم توحيد المقامات، ثم الطرح، ثم تبسيط النتيجة، ثم تحويل قسمة عدد على عدد عشري إلى كسر، وتنتهي بأخطاء متكررة وتمارين محلولة.
تذكير: الكسور المتكافئة
نحصل على كسر مكافئ لكسر معطى بضرب البسط والمقام في العدد نفسه (غير المعدوم)، أو بقسمتهما على قاسم مشترك:
a / b = (a × k) / (b × k)
أمثلة:
1 / 2 = 2 / 4 = 3 / 6 = 5 / 10.6 / 9 = 2 / 3بقسمة البسط والمقام على3.
هذه الخاصية هي أساس العمل مع الكسور: لا نغير قيمة الكسر إذا طبقنا العملية نفسها على بسطه ومقامه معًا.
جمع كسرين لهما المقام نفسه
نجمع البسطين ونحتفظ بـ المقام كما هو:
a / c + b / c = (a + b) / c
أمثلة:
3 / 7 + 2 / 7 = 5 / 7.5 / 9 + 4 / 9 = 9 / 9 = 1.
والتفسير بالصورة: إذا قسمنا الشكل إلى سبعة أجزاء متساوية وأخذنا ثلاثة، ثم أخذنا جزأين آخرين، فمجموع ما أخذناه خمسة أجزاء من سبعة.
طرح كسرين لهما المقام نفسه
نطرح البسطين ونحتفظ بالمقام:
a / c − b / c = (a − b) / c
مثال: 7 / 8 − 3 / 8 = 4 / 8 = 1 / 2 (بعد التبسيط).
كسران مقام أحدهما مضاعف لمقام الآخر
حين تختلف المقامات، لا يجوز جمع البسطين ولا المقامين مباشرة. نوحد المقامين أولًا. وإذا كان مقام أحدهما مضاعفًا لمقام الآخر، نحول الكسر ذا المقام الأصغر إلى كسر مكافئ بالمقام الأكبر.
مثال 1: 5 / 6 − 1 / 3.
المقام 6 مضاعف لـ 3 (لأن 6 = 3 × 2). نضرب بسط الكسر الثاني ومقامه في 2: 1 / 3 = 2 / 6. فيصبح:
5 / 6 − 2 / 6 = 3 / 6 = 1 / 2.
مثال 2: 3 / 4 + 5 / 12.
12 = 4 × 3، نضرب في 3: 3 / 4 = 9 / 12. إذن:
9 / 12 + 5 / 12 = 14 / 12 = 7 / 6.
مثال 3: 2 / 5 + 7 / 10.
2 / 5 = 4 / 10، فالمجموع 4 / 10 + 7 / 10 = 11 / 10.
تبسيط النتيجة
بعد الجمع أو الطرح نبسط الكسر الناتج بقسمة البسط والمقام على قاسم مشترك أكبر ما يمكن: 14 / 12 = 7 / 6، و6 / 8 = 3 / 4. وإذا كان البسط أكبر من المقام فهو أكبر من الواحد، ويمكن كتابته بكتابة مختلطة: 7 / 6 = 1 + 1 / 6.
تحويل قسمة على عدد عشري إلى كسر
لا نقسم على عدد عشري مباشرة في هذا المستوى. نحول القسمة إلى كسر ثم نضرب البسط والمقام في 10 أو 100 للتخلص من الفاصلة:
14 ÷ 5.6 = 14 / 5.6 = 140 / 56
ثم نبسط: 140 / 56 = 5 / 2 = 2.5. ويمكن الضرب في عدد آخر مثل 5: 70 / 28، وهي تؤول إلى النتيجة نفسها بعد التبسيط.
القاعدة: عند ضرب المقام في عدد، يجب ضرب البسط في العدد نفسه لنحافظ على المساواة.
أخطاء شائعة
- جمع البسطين والمقامين معًا:
1 / 2 + 1 / 3 = 2 / 5خطأ. - ضرب المقام وحده دون البسط عند التوحيد.
- نسيان تبسيط الناتج النهائي.
- طرح المقامين في طرح كسرين متساويي المقام.
- الخطأ في إيجاد المضاعف:
12مضاعف لـ4لكن10ليس مضاعفًا لـ4. - القسمة المباشرة على عدد عشري دون التخلص من الفاصلة.
تمارين للتدرب
- احسب:
4 / 9 + 2 / 9و10 / 11 − 6 / 11. - احسب:
1 / 2 + 3 / 8. - احسب:
7 / 12 − 1 / 4. - احسب:
5 / 6 + 1 / 3. - احسب
9 ÷ 4.5بتحويله إلى كسر.
الحلول:
6 / 9 = 2 / 3و4 / 11.4 / 8 + 3 / 8 = 7 / 8.1 / 4 = 3 / 12، فـ7 / 12 − 3 / 12 = 4 / 12 = 1 / 3.1 / 3 = 2 / 6، فـ5 / 6 + 2 / 6 = 7 / 6.9 / 4.5 = 90 / 45 = 2.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، تشرح قناة سوبر وان التعليمية في فيديو «عمليات على الكسور (جمع، طرح، ضرب) السنة الثانية متوسط» الدرس في نحو اثنتي عشرة دقيقة، وتبدأ بتذكير بالدرس السابق عن القسمة العشرية وقاعدة ضرب البسط والمقام في العدد نفسه، ثم تنتقل إلى جمع كسرين لهما المقام نفسه أو مقام أحدهما مضاعف للآخر.
وللتوسع، اطلع على هذه الملفات في الموقع: