حل نموذج الفرض الأول في الرياضيات للسنة الثانية متوسط: سلاسل العمليات والنشر والتحليل والكسور

يختبر الفرض الأول في رياضيات السنة الثانية متوسط شهرا كاملا من الدروس: سلاسل العمليات، والنشر والتحليل، والكسور. وأسئلته من النوع الذي يحل بالمنهجية لا بالذكاء، فمن أتقن الأولويات وتأنى في كتابة كل سطر حصل على علامة كاملة. تعرض الصفحة حلا مفصلا لنموذج مقترح من خمسة تمارين، مع شرح قاعدة كل تمرين، ومواضع الخطأ التي تضيع العلامات.

قبل أن تقرأ الحل، حاول حل كل تمرين بنفسك في كراس خاص، ثم قارن. فالتعلم يأتي من المحاولة لا من القراءة.

التمرين الأول: سلاسل العمليات

المطلوب: احسب كلا من:

• ⁦A = 47 - 13 + 24 + 2⁩
• ⁦B = 40 + 8 + 12 × 3 - 1⁩
• ⁦C = 38 - [24 ÷ (19 - 13)] × 5⁩

القاعدة

الأولويات بالترتيب: الأقواس (الداخلية أولا)، ثم الضرب والقسمة، ثم الجمع والطرح، وعند التساوي في الأولوية نحسب من اليسار إلى اليمين.

الحل

A: عمليات جمع وطرح فقط، فنحسب من اليسار: ⁦47 - 13 = 34⁩، ثم ⁦34 + 24 = 58⁩، ثم ⁦58 + 2 = 60⁩. إذن ⁦A = 60⁩.

B: فيها ضرب فنبدأ به: ⁦12 × 3 = 36⁩. تصبح العبارة ⁦40 + 8 + 36 - 1⁩. نحسب من اليسار: ⁦48⁩، ثم ⁦84⁩، ثم ⁦83⁩. إذن ⁦B = 83⁩.

C: نحسب القوس الداخلي أولا: ⁦19 - 13 = 6⁩. ثم القسمة داخل القوس الكبير: ⁦24 ÷ 6 = 4⁩. تصبح العبارة ⁦38 - 4 × 5⁩. الضرب قبل الطرح: ⁦4 × 5 = 20⁩. إذن ⁦C = 38 - 20 = 18⁩.

التمرين الثاني: حساب مع خط الكسر

المطلوب: احسب:

• ⁦D = (22 + 11 × 2) / 4⁩
• ⁦E = 72 / (12 × 2 - 6) + 20⁩

القاعدة

خط الكسر يعني قسمة، ويعمل عمل القوسين حول البسط وحول المقام. فنحسب البسط كاملا والمقام كاملا ثم نقسم.

الحل

D: البسط: الضرب أولا ⁦11 × 2 = 22⁩، ثم ⁦22 + 22 = 44⁩. المقام ⁦4⁩. إذن ⁦D = 44 / 4 = 11⁩.

E: المقام: ⁦12 × 2 = 24⁩، ثم ⁦24 - 6 = 18⁩. فيكون ⁦72 / 18 = 4⁩. نضيف ⁦20⁩ فنحصل على ⁦E = 4 + 20 = 24⁩.

التمرين الثالث: كتابة على شكل خط الكسر

المطلوب: احسب:

• ⁦F = 100 ÷ (40 + 15 × 4)⁩
• ⁦G = (10 + 18 × 3) ÷ 4⁩

الحل

F: داخل القوس يكون الضرب أولا: ⁦15 × 4 = 60⁩، ثم ⁦40 + 60 = 100⁩. فيكون ⁦F = 100 ÷ 100 = 1⁩. وبكتابة خط الكسر: ⁦F = 100 / (40 + 15 × 4) = 100 / 100 = 1⁩.

G: البسط ⁦10 + 18 × 3 = 10 + 54 = 64⁩، ثم نقسم على 4: ⁦G = 64 / 4 = 16⁩.

ملاحظة: في ⁦G⁩ لا نحسب ⁦10 + 18 = 28⁩ أولا، فالضرب هو الأول داخل القوس.

التمرين الرابع: النشر والتحليل

أ. النشر مع إجراء الحسابات

القاعدة: ⁦a × (b + c) = a × b + a × c⁩ و⁦a × (b - c) = a × b - a × c⁩.

• ⁦K = 13 × (5 + 3) = 13 × 5 + 13 × 3 = 65 + 39 = 104⁩.
• ⁦M = 3 × (100 - 2) = 3 × 100 - 3 × 2 = 300 - 6 = 294⁩.

وللتحقق: ⁦K = 13 × 8 = 104⁩ مباشرة، و⁦M = 3 × 98 = 294⁩، فالنتيجتان متطابقتان.

ب. التحليل دون إجراء الحسابات

القاعدة: التحليل عكس النشر، نبحث عن عامل مشترك ونخرجه أمام قوسين.

• ⁦N = 11 × 5 + 5 × 7⁩: العامل المشترك ⁦5⁩. إذن ⁦N = 5 × (11 + 7)⁩.
• ⁦S = 15 × 6 - 4 × 15⁩: العامل المشترك ⁦15⁩. إذن ⁦S = 15 × (6 - 4)⁩.

انتبه إلى أن المطلوب «دون إجراء الحسابات»: فلا تكتب ⁦N = 90⁩ فقط، بل اكتب الشكل المحلل.

التمرين الخامس: الكسور

المطلوب: احسب ثم اختزل الكسر إذا أمكن:

• ⁦A' = 30/12 - 2/3⁩
• ⁦B' = 12/5 + 1/3 × 6/5⁩
• ⁦C' = (2/8 + 6/8) × 5/20⁩

القاعدة

لا نجمع كسورا أو نطرحها إلا بعد توحيد المقامات. وفي الضرب نضرب البسط في البسط والمقام في المقام. ويكون الاختزال بالقسمة على قاسم مشترك للبسط والمقام.

الحل

A': نوحد المقامين على ⁦12⁩: ⁦2/3 = 8/12⁩. إذن ⁦A' = 30/12 - 8/12 = 22/12⁩. ونختزل بالقسمة على ⁦2⁩: ⁦A' = 11/6⁩. وهذا الكسر لا يقبل الاختزال لأن ⁦11⁩ عدد أولي لا يقسم ⁦6⁩.

B': الضرب أولا: ⁦1/3 × 6/5 = 6/15⁩. ثم نوحد المقامين على ⁦15⁩: ⁦12/5 = 36/15⁩. إذن ⁦B' = 36/15 + 6/15 = 42/15⁩.

هل يختزل؟ نعم. القاسم المشترك الأكبر لـ⁦42⁩ و⁦15⁩ هو ⁦3⁩ (لأن ⁦42 = 3 × 14⁩ و⁦15 = 3 × 5⁩). إذن ⁦B' = 14/5⁩.

تنبيه: يزعم بعض الشروحات في الفيديو أن ⁦42/15⁩ لا يختزل، وهذا خطأ. تأكد دائما بتجربة قاسم مشترك صغير (2 ثم 3 ثم 5) قبل الحكم بعدم القابلية للاختزال.

C': القوس أولا: ⁦2/8 + 6/8 = 8/8 = 1⁩. إذن ⁦C' = 1 × 5/20 = 5/20⁩. نقسم البسط والمقام على ⁦5⁩: ⁦C' = 1/4⁩.

جدول الإجابات النهائية

أين تضيع العلامات؟

1. تجاوز الأولويات: حساب ⁦19 - 13⁩ ثم الطرح من 38 بدل القسمة أولا.
2. حذف الأقواس عند النشر: ⁦13 × 5 + 3⁩ بدل ⁦13 × (5 + 3)⁩.
3. نسيان عامل مشترك في التحليل أو إخراج عامل غير مشترك.
4. جمع كسرين دون توحيد المقام.
5. نسيان الاختزال أو الاعتقاد بعدم إمكانه دون تجربة قواسم.
6. كتابة النتيجة بلا سطر الحساب، فتخسر علامة المنهجية.

تمارين مشابهة للتدرب

1. احسب ⁦P = 60 - 12 ÷ 3 + 2 × 5⁩. (⁦P = 66⁩)
2. احسب ⁦Q = (35 + 7 × 4) / (2 × 5 - 3)⁩. (⁦Q = 9⁩)
3. حلل ⁦R = 8 × 9 + 8 × 6⁩. (⁦8 × (9 + 6)⁩)
4. احسب واختزل ⁦T = 5/6 + 1/4⁩. (⁦13/12⁩)

نصائح للفرض

• اكتب كل خطوة في سطر مستقل وضع النتيجة في إطار.
• راجع الأرقام بعد الانتهاء.
• لا تترك تمرينا دون محاولة، فالمنهجية تعطيك علامات جزئية.

الشرح المصوّر

لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، تقدم قناة الرياضيات للتعليم المتوسط في فيديو «أقوى حل للفرض الأول في الرياضيات للسنة الثانية متوسط» هذا النموذج. وقد صححت هنا اختزال الكسر ⁦42/15⁩ الذي ورد خطأ في الشرح المصور.