يتصدر درس التناسبية رياضيات الفصل الثالث في السنة الثانية متوسط، وهو من أكثر الدروس ارتباطا بالحياة اليومية: الأسعار والوصفات والمسافات والمقاييس على الخرائط والنسب المئوية. وكثير من التلاميذ يخافون الكلمات (التناسبية، الرابع المتناسب، معامل التناسبية) ويتهيبونها، لكنها في الواقع تدور حول فكرة واحدة: إذا تضاعفت كمية تضاعفت الأخرى بالنسبة نفسها. تعرض الصفحة المراجعة مع طرق الحل وأمثلة تماثل تمارين الاختبار.
أولا: ما التناسبية؟
يكون جدول جدول تناسبية إذا أمكن الحصول على أعداد السطر الثاني من أعداد السطر الأول بالضرب في العدد نفسه (معامل التناسبية).
أمثلة من الحياة
- ثمن الخبز يتناسب مع عدد الأرغفة.
- المسافة المقطوعة بسرعة ثابتة تتناسب مع الزمن.
- كتلة السكر في الوصفة تتناسب مع عدد الأشخاص.
مثال لجدول تناسبية
| الكمية (كغ من البطاطا) | 1 | 2 | 5 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| الثمن (دج) | 60 | 120 | 300 | 600 |
نلاحظ أن كل عدد في السطر الثاني يساوي السطر الأول مضروبا في 60، فمعامل التناسبية 60 (وهو ثمن الكيلوغرام الواحد).
ثانيا: معامل التناسبية
إيجاده
نقسم عددا من السطر الثاني على نظيره في السطر الأول:
معامل التناسبية = عدد السطر الثاني ÷ العدد المقابل له في السطر الأول.
مثال: من 10 كغ بثمن 600 دج، المعامل 600 ÷ 10 = 60.
ملاحظة حول الاتجاه
- لتحويل السطر الأول إلى الثاني نضرب في المعامل.
- لتحويل السطر الثاني إلى الأول نقسم على المعامل.
- لا تخلط: الأعداد الكبيرة تقسم لتصير صغيرة، والصغيرة تضرب لتصير كبيرة.
ثالثا: الرابع المتناسب
الرابع المتناسب هو العدد المجهول في جدول من أربع خانات منها ثلاث معلومة.
الطريقة 1: معامل التناسبية
- نجد الخانتين المعلومتين المتقابلتين (واحدة فوق الأخرى).
- نحسب المعامل بقسمة السفلى على العليا.
- نطبق المعامل على الخانة التي لها مقابل مجهول.
الطريقة 2: الجداء المتقاطع (الضرب بالتقاطع)
نضرب العددين المتقابلين قطريا ونقسم على العدد الثالث.
مثال محلول (1)
أكمل الجدول:
| الكمية | 4 | 10 |
|---|---|---|
| الثمن | 60 | ؟ |
- الجداء المتقاطع:
(10 × 60) ÷ 4 = 600 ÷ 4 = 150. - أو بالمعامل:
60 ÷ 4 = 15، فـ10 × 15 = 150.
مثال محلول (2): مسألة
3 كلغ من الطماطم بـ240 دج. كم ثمن 5 كلغ؟
- الثمن إلى الكتلة:
240 ÷ 3 = 80دج للكيلوغرام. - الجواب:
5 × 80 = 400دج.
رابعا: التحقق من وضعية التناسبية
لا تكون كل علاقة بين كميتين تناسبية. لنتحقق:
- نحسب النسبة بين كل عددين متقابلين.
- إذا كانت النسب متساوية فهو جدول تناسبية.
- وإلا فلا.
مثال محلول (3)
| العمر (سنة) | 10 | 12 | 14 |
|---|---|---|---|
| الطول (سم) | 140 | 150 | 160 |
140 ÷ 10 = 14 و150 ÷ 12 = 12.5 وهما مختلفان ← ليس جدول تناسبية (فالطول لا يتناسب مع العمر).
خامسا: النسبة المئوية
النسبة المئوية كسر مقامه
100، نكتبه بالرمز%.
قراءة ومعنى
25% تعني 25 / 100 = 0.25 = 1 / 4.
حساب نسبة مئوية من كمية
لحساب p% من كمية Q: نضرب Q في p / 100.
مثال: 20% من 450 دج هي 450 × 20 / 100 = 90 دج.
حساب النسبة المئوية
النسبة = (الجزء ÷ الكل) × 100.
مثال: نجح 18 تلميذا من أصل 24: النسبة (18 ÷ 24) × 100 = 75%.
التخفيض والزيادة
- تخفيض
20%على سعر500دج:500 × 0.2 = 100فالسعر الجديد500 - 100 = 400دج، أو مباشرة500 × 0.8 = 400. - زيادة
10%: السعر الجديدالسعر × 1.1.
مثال محلول (4)
ثمن قميص 1500 دج وخفض بنسبة 30%. احسب السعر الجديد.
- التخفيض
1500 × 30 / 100 = 450. - السعر الجديد
1500 - 450 = 1050دج.
سادسا: تطبيقات في المسائل
السلم (المقياس)
السلم 1/50000 يعني أن كل 1 cm على الخريطة يوافق 50000 cm = 500 m في الواقع. فـ4 cm على الخريطة ← 2 km في الواقع.
السرعة المنتظمة
المسافة تتناسب مع الزمن: بسرعة 60 km/h تقطع 60 كلم في ساعة و150 كلم في ساعتين ونصف.
الوصفات
وصفة لـ4 أشخاص تحتاج 300 g من الدقيق. لـ6 أشخاص: 300 × 6 ÷ 4 = 450 g.
سابعا: طريقة تحرير الحل في الاختبار
اكتب في أول الحل جدولا منظما من سطرين، وضع فوق كل سطر عنوانه ووحدته. ثم اكتب سطر الحساب بالرموز، ثم النتيجة بجملة: «ثمن 8 كراريس هو 440 دج». ويحسن أن تضع بجانب الحل تحقيقا سريعا: هل النتيجة منطقية؟ فإن كان جواب كمية أكبر أقل من الأصغر فاعلم أنك أخطأت في الاتجاه. وهذه العادة تحميك من أخطاء القسمة والضرب المعكوسة، وتمنحك علامة المنهجية كاملة حتى لو أخطأت في عملية حسابية بسيطة.
أسئلة اختبار نمطية
- أكمل جدول التناسبية:
(3 ; 18)و(5 ; ؟). (30) - هل الجدول التالي جدول تناسبية؟
(2 ; 5)و(4 ; 10)و(6 ; 16). (لا:2.5و2.5و2.67) - احسب
15%من80. (12) - اشترى تلميذ 5 كراريس بـ
275دج، كم يدفع لـ8 كراريس؟ (440دج)
أخطاء شائعة
- القسمة بدل الضرب عند التحويل من العمود الأول إلى الثاني.
- نسيان وحدة القياس في الجواب.
- اعتبار أي جدول جدول تناسبية دون التحقق.
- خلط التخفيض بالزيادة.
- نسيان القسمة على
100في النسبة المئوية.
نصائح
- اكتب الجدول واضحا مع الوحدات.
- تحقق من منطقية الجواب (الأكثر يدفع أكثر).
- ضع المعامل في مربع لتتأكد منه.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، تقدم الأستاذة ياسمين في فيديو «ملخص ومراجعة جميع دروس الفصل 3 في الرياضيات للسنة 2 متوسط» هذه المراجعة.