عندما تشتري ثلاث برتقالات بسعر معين، وتشتري ست برتقالات فتدفع ضعف المبلغ، فأنت أمام وضعية تناسبية. والتناسبية من أكثر الأفكار الرياضية استعمالًا في الحياة: في الأسعار والوصفات والخرائط والنسب المئوية والتخفيضات والسرعات. وفي السنة الثانية متوسط تتعلم أن تتعرف على هذه الوضعيات وأن تحسب فيها بدقة. تعرض هذه الصفحة جداول التناسبية ومعامل التناسبية، ثم إيجاد قيمة مجهولة، ثم النسبة المئوية، ثم المقياس، وتنتهي بأخطاء متكررة وتمارين محلولة.
جدول التناسبية
نقول عن جدول من سطرين إنه جدول تناسبية إذا أمكن الانتقال من السطر الأول إلى الثاني بالضرب في العدد نفسه دائمًا. ويسمى هذا العدد معامل التناسبية.
لنتحقق هل جدول تناسبية: نقسم كل عدد في السطر الثاني على العدد المقابل له في الأول، فإن حصلنا على الناتج نفسه فهو جدول تناسبية.
مثال. عدد أزهار وثمنها بالدينار:
| عدد الأزهار | 6 | 10 | 15 |
|---|---|---|---|
| الثمن (DA) | 138 | 230 | 345 |
نحسب: 138 / 6 = 23 و 230 / 10 = 23 و 345 / 15 = 23. الناتج ثابت، فالجدول جدول تناسبية ومعامله 23، وهو ثمن الزهرة الواحدة. وبهذا المعامل نحسب أي ثمن: ثمن 9 أزهار 9 × 23 = 207 DA.
إيجاد القيمة المجهولة
لدينا طريقتان:
- بمعامل التناسبية: نحسب المعامل بقسمة قيمة من السطر الثاني على القيمة المقابلة لها في الأول، ثم نضرب به.
- بالجداء المتقاطع: إذا كان
a / b = c / dفإنa × d = b × c. فمثلًا منx / 4 = 15 / 10نجد10 x = 60ومنهx = 6.
ليس كل جدول تناسبية
جدول مثل: 3 → 12 و 5 → 20 و 8 → 34 ليس تناسبيًا، لأن 12 / 3 = 4 و 20 / 5 = 4 لكن 34 / 8 = 4.25. ومن الوضعيات غير التناسبية: عمر الطفل وطوله، وأجرة سيارة أجرة فيها مبلغ ثابت قبل أي مسافة. فالتزايد وحده لا يعني التناسبية، بل لا بد أن يتضاعف أحد المقدارين كلما تضاعف الآخر.
النسبة المئوية
النسبة المئوية p% كسر مقامه 100:
- نسبة مئوية من كمية: نضرب الكمية
Qفيp / 100. مثال:18%من250تساوي0.18 × 250 = 45. - إيجاد نسبة مئوية: نقسم الجزء على الكل ثم نضرب في 100. مثال: في قسم من 40 تلميذًا 14 بنتًا، نسبة البنات
14 / 40 × 100 = 35%. - التخفيض: سعر
1200 DAخُفّض 25%، فمقدار التخفيض0.25 × 1200 = 300والسعر الجديد1200 − 300 = 900 DA. أو مباشرة0.75 × 1200 = 900. - الزيادة: سعر ارتفع من
400إلى460، فالزيادة60ونسبتها60 / 400 × 100 = 15%.
المقياس
مقياس خريطة 1 / 25000 يعني أن كل 1 cm على الخريطة يمثل 25000 cm في الواقع. فمسافة 3 cm على الخريطة تمثل 3 × 25000 = 75000 cm = 750 m في الواقع. وهذه وضعية تناسبية معاملها المقياس.
أخطاء شائعة
- القول إن الجدول تناسبي لأن الأعداد في الصفين تتزايد. المهم أن يكون معامل الانتقال واحدًا.
- إضافة العدد نفسه في الانتقال بدل ضربه.
- الخلط بين «النسبة من الكمية» و«النسبة المئوية للتغير».
- الخطأ في ترتيب الجداء المتقاطع.
- الخلط في الوحدات عند المقياس: يجب تحويل
cmإلىmأوkmبعد الضرب. - القسمة على 100 مرتين أو نسيانها عند حساب نسبة مئوية من كمية.
تمارين للتدرب
- 2 kg من التفاح بسعر
90 DA. ما سعر 5 kg بالمعامل نفسه؟ - هل
4 → 10و6 → 15و10 → 26تناسبي؟ - احسب
20%من350. - ارتفع سعر من
400 DAإلى460 DA. ما نسبة الزيادة؟ - مقياس خريطة
1 / 200000وطول على الخريطة2.5 cm. ما المسافة الحقيقية؟
الحلول:
- المعامل
90 / 2 = 45، والسعر5 × 45 = 225 DA. 10 / 4 = 2.5و15 / 6 = 2.5لكن26 / 10 = 2.6. غير تناسبي.0.2 × 350 = 70.- الزيادة
60، ونسبتها60 / 400 = 0.15 = 15%. 2.5 × 200000 = 500000 cm = 5 km.
الشرح المصوّر وملفات التمارين
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، تشرح الأستاذة صفاء في فيديو «درس التناسبية، رياضيات ثانية متوسط» الدرس في نحو ثماني عشرة دقيقة، مبتدئة بجداول التناسبية: جدول من سطرين نصل فيه إلى الثاني بالضرب في العدد نفسه، وهو معامل التناسبية.
وللتدرب على تمارين حقيقية، اطلع على هذه الملفات في الموقع: