الحساب الحرفي: إنتاج عبارة حرفية وتبسيطها والنشر وحل معادلات واختبار صحة مساواة - السنة الثانية متوسط

الحساب الحرفي مقطع يظهر في اختبارات السنة الثانية متوسط كثيرًا، ويبنى على درس بدأته في السنة الأولى متوسط. فكرته أن نستعمل الحروف بدل الأعداد حين نريد أن نكتب قاعدة عامة أو حين لا نعرف العدد. فمحيط مربع طول ضلعه ⁦a⁩ هو ⁦4a⁩ أيًّا كان ⁦a⁩. تعرض هذه الصفحة معنى العبارة الحرفية وإنتاجها من وضعية، ثم حساب قيمتها، ثم تبسيطها ونشرها، ثم اختبار صحة مساواة، ثم حل معادلات بسيطة، وتنتهي بأخطاء متكررة وتمارين محلولة.

ما هي العبارة الحرفية؟

العبارة الحرفية عبارة فيها حرف أو أكثر ترمز إلى أعداد. مثال: ⁦3x + 2⁩ و ⁦a × b⁩ و ⁦2 (L + l)⁩. وإذا كان عدد ملتصقًا بحرف أو بقوس فهذا يعني ضربًا: ⁦3x⁩ تعني ⁦3 × x⁩ و ⁦2 (L + l)⁩ تعني ⁦2 × (L + l)⁩، ولا نكتب علامة الضرب.

إنتاج عبارة حرفية

نحوّل وضعية إلى عبارة بتسمية المجهول بحرف ثم ترجمة المعطيات:

• محيط مربع ضلعه ⁦a⁩: ⁦P = 4 × a⁩ أي ⁦4a⁩. مساحته: ⁦S = a × a = a²⁩.
• محيط مستطيل طوله ⁦L⁩ وعرضه ⁦l⁩: ⁦P = 2 × (L + l)⁩. مساحته: ⁦S = L × l⁩.
• ثمن كراريس: كراس بـ ⁦x⁩ دينارًا، فثمن 5 كراريس ⁦5x⁩.
• عدد أكبر بـ 3 من ⁦n⁩: ⁦n + 3⁩، وضعفه ⁦2n⁩، وثلاثة أمثاله ناقص 1: ⁦3n − 1⁩.

مثال: اشترى تلميذ 3 أقلام ثمن القلم ⁦x⁩ دينارًا وكراسًا بـ ⁦40⁩ دينارًا. المبلغ الذي دفعه ⁦3x + 40⁩.

قيمة عبارة حرفية

لحساب قيمة عبارة نعوض الحرف بعدد معلوم ثم نحسب مع احترام أولوية العمليات: القوس ثم الضرب والقسمة ثم الجمع والطرح.

• من أجل ⁦x = 4⁩: ⁦3x + 2 = 3 × 4 + 2 = 14⁩.
• من أجل ⁦x = −2⁩: ⁦3x + 2 = 3 × (−2) + 2 = −4⁩.
• من أجل ⁦a = 3⁩: ⁦a² − 1 = 9 − 1 = 8⁩.

وعند التعويض بعدد سالب ضعه بين قوسين حتى لا تخطئ الإشارة.

تبسيط عبارة حرفية

نجمع الحدود المتشابهة، وهي التي لها الجزء الحرفي نفسه:

• ⁦3x + 5x = 8x⁩
• ⁦7a − 2a = 5a⁩
• ⁦2x + 3 + 4x − 1 = 6x + 2⁩

ولا نجمع حدودًا غير متشابهة: ⁦3x + 5⁩ لا نبسطها أكثر، فلا يساوي ⁦8x⁩.

خاصية التوزيع والنشر

⁦k (a + b) = k a + k b⁩ و ⁦k (a − b) = k a − k b⁩

نشر عبارة هو كتابتها دون أقواس بتطبيق هذه الخاصية، وتوزيع إشارة الضرب على كل حد داخل القوس:

• ⁦3 (x + 4) = 3x + 12⁩
• ⁦5 (2x − 3) = 10x − 15⁩
• ⁦−2 (x − 5) = −2x + 10⁩

وبعد النشر نبسط: ⁦2 (x + 3) + 3x = 2x + 6 + 3x = 5x + 6⁩.

اختبار صحة مساواة

نريد أن نعرف هل عدد معين يحقق مساواة. نحسب الطرفين على حدة بتعويض المجهول بهذا العدد، فإذا تساويا فالمساواة صحيحة من أجله، وإلا فهي خاطئة.

مثال. هل المساواة ⁦2x + 3 = x + 7⁩ صحيحة من أجل ⁦x = 4⁩؟ الطرف الأيسر ⁦2 × 4 + 3 = 11⁩ والأيمن ⁦4 + 7 = 11⁩. متساويان، فهي صحيحة من أجل ⁦x = 4⁩. ومن أجل ⁦x = 2⁩ الطرف الأيسر ⁦7⁩ والأيمن ⁦9⁩، فهي خاطئة.

حل معادلة بسيطة

حل المعادلة إيجاد قيمة المجهول التي تجعل المساواة صحيحة. ننقل الحدود لتجمع المجهول في طرف والأعداد في الآخر مع تغيير الإشارة:

• ⁦x + 5 = 12⁩ تعطي ⁦x = 12 − 5 = 7⁩.
• ⁦3x − 4 = 11⁩ تعطي ⁦3x = 15⁩ ثم ⁦x = 5⁩.
• ⁦2 (x + 1) = 10⁩ تعطي ⁦2x + 2 = 10⁩ ثم ⁦2x = 8⁩ ومنه ⁦x = 4⁩.

أخطاء شائعة

• كتابة ⁦3x + 5 = 8x⁩. الحد ⁦5⁩ لا يشبه ⁦3x⁩.
• نسيان نشر العدد على كل الحدود: ⁦3 (x + 4) = 3x + 4⁩ خطأ، والصواب ⁦3x + 12⁩.
• الخطأ في الإشارة عند النشر: ⁦−2 (x − 5) = −2x + 10⁩ وليس ⁦−2x − 10⁩.
• التعويض بعدد سالب دون قوس: ⁦3 × −2⁩ خطأ في الكتابة والصواب ⁦3 × (−2)⁩.
• عدم احترام أولوية العمليات: ⁦3 + 2 × 4 = 11⁩ وليس ⁦20⁩.
• الاكتفاء بتجربة عدد واحد للحكم على صحة مساواة عامة. تجربة عدد واحد تثبت أنها صحيحة من أجله فقط.

تمارين للتدرب

1. اكتب عبارة حرفية لمحيط مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه ⁦a⁩.
2. احسب ⁦4x − 3⁩ من أجل ⁦x = 5⁩ ومن أجل ⁦x = −1⁩.
3. بسّط ⁦5a + 3 − 2a + 7⁩.
4. انشر وبسّط ⁦3 (x + 2) − 2x⁩.
5. هل ⁦x = 3⁩ حل للمعادلة ⁦2x + 1 = 7⁩؟ وحل ⁦4x − 5 = 11⁩.

الحلول:

1. ⁦3a⁩.
2. من أجل ⁦x = 5⁩: ⁦4 × 5 − 3 = 17⁩. ومن أجل ⁦x = −1⁩: ⁦4 × (−1) − 3 = −7⁩.
3. ⁦3a + 10⁩.
4. ⁦3x + 6 − 2x = x + 6⁩.
5. ⁦2 × 3 + 1 = 7⁩ فنعم. وفي الثانية ⁦4x = 16⁩ ومنه ⁦x = 4⁩.

الشرح المصوّر وملفات التمارين

لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ أسامة في فيديو «شرح مفصل لدرس الحساب الحرفي للسنة 2 متوسط» المقطع في نحو إحدى وعشرين دقيقة، فيذكّر بدروس السنة الأولى ويشرح إنتاج عبارة حرفية ثم حل المعادلات واختبار صحة مساواة.

وللتدرب على تمارين حقيقية، اطلع على هذين الملفين في الموقع:

• الحساب الحرفي وحل المعادلات: سلسلة تمارين المقطع 05
• ملخص درس العمليات الحسابية: أولويات العمليات وسلاسل الحساب بالأقواس