مقطع الزوايا من أهم مقاطع الهندسة في السنة الثانية متوسط، ومن أكثرها حضورًا في الفروض والاختبارات، لأنه يفتح لك باب إثبات التوازي وحساب الزوايا في الأشكال. ويبدأ الدرس من أبسط الأسئلة: كيف نسمي زاوية؟ ثم ينتقل إلى أزواج من الزوايا لها أسماء تحدد علاقتها: المتجاورة، والمتتامة، والمتكاملة، والمتقابلة بالرأس، والمتبادلة داخليًا، والمتماثلة. وأهمها في الاختبارات التبادل الداخلي والتقابل بالرأس والتماثل. تعرض هذه الصفحة هذه الأنواع واحدًا واحدًا، ثم علاقتها بالتوازي، ثم مجموع زوايا المثلث، وتنتهي بأخطاء متكررة وتمارين محلولة.
كيف نسمي زاوية؟
الزاوية ضلعان يشتركان في رأس. نسميها بثلاثة أحرف يكون حرف الرأس في الوسط: الزاوية ABC رأسها B وضلعاها [BA) و[BC). ونرمز لها ∠ABC. وإذا لم يكن في الشكل التباس يمكن أن نسميها بحرف الرأس وحده ∠B. وتقاس الزاوية بالدرجات.
أنواع الزوايا حسب قياسها
- زاوية حادة: قياسها بين
0°و90°. - زاوية قائمة: قياسها
90°. - زاوية منفرجة: بين
90°و180°. - زاوية مستقيمة: قياسها
180°.
أزواج الزوايا
الزاويتان المتجاورتان: لهما رأس مشترك وضلع مشترك وتقعان على جهتين مختلفتين من هذا الضلع، فلا يتداخلان.
الزاويتان المتتامتان: مجموع قياسيهما 90°. مثال: 35° و55° متتامتان.
الزاويتان المتكاملتان: مجموع قياسيهما 180°. مثال: 120° و60° متكاملتان. وتتشكل زاويتان متكاملتان متجاورتان عندما تقطع نصف مستقيم مستقيمًا.
الزاويتان المتقابلتان بالرأس: تشتركان في الرأس وتكون أضلاع إحداهما امتدادًا لأضلاع الأخرى. ولهما القياس نفسه دائمًا.
وهذه الأنواع الثلاثة المهمة تظهر عندما يقطع مستقيم (d) مستقيمين (D₁) و(D₂):
الزاويتان المتبادلتان داخليًا: تقعان بين المستقيمين، في جهتين مختلفتين من القاطع.
الزاويتان المتماثلتان: تقعان في الجهة نفسها من القاطع، واحدة بين المستقيمين والأخرى خارجهما.
الزاويتان المتبادلتان خارجيًا: تقعان خارج المستقيمين، في جهتين مختلفتين من القاطع.
الزوايا والتوازي
إذا كان المستقيمان (D₁) و(D₂) متوازيين فإن:
- كل زاويتين متبادلتين داخليًا متساويتان.
- كل زاويتين متماثلتين متساويتان.
- كل زاويتين متبادلتين خارجيًا متساويتان.
والعكس صحيح، ونستعمله في إثبات التوازي: إذا وجدنا زاويتين متبادلتين داخليًا متساويتين (أو متماثلتين متساويتين) فالمستقيمان متوازيان.
مجموع زوايا المثلث
مجموع قياسات زوايا أي مثلث 180°. ونستنتج أن في المثلث القائم الزاويتان الحادتان متتامتان، وأن كل زاوية في المثلث المتقايس الأضلاع قياسها 60°، وأن زاويتي القاعدة في المثلث المتساوي الساقين متساويتان.
أمثلة محلولة
مثال 1. زاويتان متكاملتان إحداهما 115°. الأخرى 180° − 115° = 65°.
مثال 2. مستقيمان متوازيان يقطعهما قاطع، وإحدى الزوايا 70°. الزاوية المتبادلة داخليًا معها 70°، والزاوية المتماثلة معها 70°، والزاوية المتجاورة معها المتكاملة 110°.
مثال 3. مثلث ABC فيه ∠A = 50° و∠B = 60°. فـ ∠C = 180° − (50° + 60°) = 70°.
مثال 4 (إثبات التوازي). قاطع يقطع (D₁) و(D₂) فتكون زاويتان متبادلتان داخليًا قياس كل منهما 68°. هما متساويتان وهما متبادلتان داخليًا، فـ (D₁) // (D₂).
أخطاء شائعة
- كتابة الزاوية بحرف الرأس في طرف الاسم. الرأس يكون في وسط الاسم.
- الخلط بين المتتامتين (90°) والمتكاملتين (180°).
- القول إن كل زاويتين متبادلتين داخليًا متساويتان دون أن يكون المستقيمان متوازيين.
- الخلط بين المتبادلتين داخليًا والمتماثلتين.
- استعمال الخاصية العكسية دون ذكر أن الزاويتين متبادلتان داخليًا أو متماثلتان.
- نسيان وحدة الدرجات
°في النتيجة.
تمارين للتدرب
- زاويتان متتامتان إحداهما
28°. احسب الأخرى. - في مثلث
ABCفيه∠A = 90°و∠B = 37°. احسب∠C. - مستقيمان متوازيان وقاطع. زاوية قياسها
125°. ما قياس الزاوية المتبادلة داخليًا معها؟ والمتجاورة المتكاملة؟ - مستقيمان يتقاطعان في
Oوإحدى الزوايا40°. احسب الزوايا الأخرى. - زاويتان متماثلتان قياساهما
72°و72°. ماذا نستنتج؟
الحلول:
90° − 28° = 62°.∠C = 180° − (90° + 37°) = 53°.- المتبادلة داخليًا
125°، والمتجاورة المتكاملة180° − 125° = 55°. - المقابلة بالرأس
40°، والمتجاورتان180° − 40° = 140°لكل منهما. - المتماثلتان متساويتان، فالمستقيمان متوازيان بحسب الخاصية العكسية.
الشرح المصوّر وملفات التمارين
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يشرح الأستاذ أسامة في فيديو «شرح مفصل لدرس الزوايا سنة 2 متوسط» كل دروس مقطع الزوايا في نحو ست عشرة دقيقة، فيبدأ بتسمية الزاوية ثم المتجاورتين والمتتامتين والمتكاملتين، ثم المتبادلتين داخليًا وخارجيًا والمتماثلتين والمتقابلتين بالرأس، مركّزًا على ما يتكرر في الاختبارات.
وللتدرب على تمارين حقيقية، اطلع على هذه الملفات في الموقع: