متوازي الأضلاع من أكثر الأشكال الهندسية التي تتكرر في اختبارات السنة الثانية متوسط، وغالبًا يحوي التمرين ثلاثة أسئلة: سؤال سهل في خواصه، وآخر في حساب مساحته، وثالث أصعب يحتاج إلى فهم عميق لطريقة حساب الارتفاع. تعرض هذه الصفحة تعريف متوازي الأضلاع وخواصه، ثم حالاته الخاصة، ثم قانون المساحة وسبب كونه «القاعدة في الارتفاع» لا «الضلع في الضلع»، ثم قانون المحيط، وتنتهي بأمثلة مدرجة وأخطاء متكررة وتمارين محلولة.
ما هو متوازي الأضلاع؟
متوازي الأضلاع هو كل رباعي فيه ضلعان متقابلان متوازيان في كل زوج، أي أن ضلعيه المتقابلين متوازيان مثنى مثنى. وهو الشكل ABCD الذي فيه (AB) // (DC) و(AD) // (BC).
خواصه
في كل متوازي أضلاع:
- كل ضلعين متقابلين متساويان في الطول:
AB = DCوAD = BC. - كل زاويتين متقابلتين متساويتان في القياس:
∠A = ∠Cو∠B = ∠D. - كل زاويتين متتاليتين متكاملتان:
∠A + ∠B = 180°. - القطران ينصف كل منهما الآخر، أي يتقاطعان في منتصفيهما، وتلك النقطة مركز تناظر الشكل.
ونستعمل هذه الخواص في الاتجاهين: لحساب طول أو زاوية، ولإثبات أن رباعيًا هو متوازي أضلاع (إذا تحقق أحدها).
الحالات الخاصة
بعض الأشكال المعروفة حالات خاصة من متوازي الأضلاع:
- المستطيل: متوازي أضلاع فيه زاوية قائمة (فتكون كل زواياه قائمة).
- المعين: متوازي أضلاع فيه ضلعان متتاليان متساويان (فتتساوى أضلاعه الأربعة).
- المربع: متوازي أضلاع فيه زاوية قائمة وضلعان متتاليان متساويان، فهو مستطيل ومعين معًا.
المحيط
محيط متوازي أضلاع ضلعاه المتجاوران a وb:
P = 2 × (a + b)
لأن الضلعين المتقابلين متساويان.
المساحة
نعرّف الارتفاع المتعلق بضلع معين: هو المسافة بين هذا الضلع (القاعدة) والضلع المقابل له الموازي، وهو القطعة العمودية على القاعدة. وقانون المساحة:
S = b × h
أي القاعدة مضروبة في الارتفاع المتعلق بها، حيث b طول القاعدة وh ارتفاعها. وأهم تنبيه: الارتفاع ليس هو الضلع الجانبي (المائل) إلا في المستطيل، وإنما هو العمودي على القاعدة.
والتفسير: نقتطع قطعة مثلثة من أحد طرفي متوازي الأضلاع ونضعها على الطرف الآخر فيتحول إلى مستطيل قاعدته b وارتفاعه h، ومساحته b × h.
أمثلة مدرجة
مثال 1 (سهل). متوازي أضلاع قاعدته 8 cm وارتفاعه المتعلق بها 5 cm. المساحة S = 8 × 5 = 40 cm².
مثال 2 (محيط). ضلعاه المتجاوران 10 cm و6 cm. المحيط 2 × (10 + 6) = 32 cm.
مثال 3 (الأصعب). متوازي أضلاع ABCD فيه AB = 10 cm وBC = 6 cm، وارتفاعه المتعلق بالضلع [AB] يساوي 4 cm. نريد الارتفاع المتعلق بالضلع [BC]. المساحة S = AB × h₁ = 10 × 4 = 40 cm². ولأن المساحة نفسها بأي قاعدة نأخذها، فإذا أخذنا القاعدة BC فإن S = BC × h₂، أي 40 = 6 × h₂ ومنه h₂ = 40 / 6 ≈ 6.67 cm. فالارتفاعان مختلفان لأن القاعدتين مختلفتان، والمساحة واحدة.
أخطاء شائعة
- حساب المساحة بضرب ضلعين متجاورين، كأنه مستطيل:
10 × 6 = 60خطأ. يجب استعمال الارتفاع العمودي. - الخلط بين الارتفاع والضلع الجانبي.
- نسيان الوحدة المربعة
cm²في المساحة، أو كتابة وحدة طول. - حساب المحيط بجمع أضلاعه الأربعة دون الاستفادة من تساوي المتقابلين، وهو صحيح لكنه أطول.
- أن كل رباعي فيه ضلعان متوازيان هو متوازي أضلاع. اللازم أن يكون كل ضلعين متقابلين متوازيين.
- الخلط بين الزاويتين المتتاليتين (متكاملتان) والمتقابلتين (متساويتان).
تمارين للتدرب
- متوازي أضلاع قاعدته
12 cmوارتفاعه7 cm. احسب مساحته. - ضلعاه المتجاوران
9 cmو5 cm. احسب محيطه. - في متوازي الأضلاع
ABCDفيه∠A = 65°. احسب∠Bو∠Cو∠D. - مساحة متوازي أضلاع
54 cm²وقاعدته9 cm. احسب ارتفاعه. - هل المستطيل متوازي أضلاع؟ علل.
الحلول:
S = 12 × 7 = 84 cm².2 × (9 + 5) = 28 cm.∠B = 180° − 65° = 115°، و∠C = ∠A = 65°، و∠D = ∠B = 115°.h = 54 / 9 = 6 cm.- نعم، فكل ضلعين متقابلين في المستطيل متوازيان، فهو متوازي أضلاع فيه زاوية قائمة.
الشرح المصوّر وملفات التمارين
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يشرح الأستاذ أسامة في فيديو «شرح مفصل لدرس متوازي الأضلاع: حساب مساحة متوازي الأضلاع» الدرس في نحو ثماني دقائق، ويعد بأن يقدم قانون المساحة ثم ثلاثة أمثلة: الأول والثاني سهلان والثالث أصعب وغالبًا يرد في الاختبارات.
وللتدرب على تمارين حقيقية، اطلع على هذين الملفين في الموقع: