ملخص الرياضيات للسنة الثانية متوسط الفصل الأول: العمليات والأعداد العشرية والكسور والإنشاءات الهندسية

يجمع الفصل الأول من رياضيات السنة الثانية متوسط أربعة محاور: سلاسل العمليات، والأعداد العشرية والقيم المقربة، والكسور ومقارنتها، والإنشاءات الهندسية بالمسطرة والفرجار. وهذه الدروس هي المادة الأساسية للفرض الأول والاختبار الأول، وتقوم على قواعد ثابتة إذا طبقت بحذر أعطت علامة كاملة. تعرض الصفحة ملخصا شاملا لكل درس بقواعده وأمثلته المحلولة، وتنتهي بأخطاء شائعة وأسئلة للمراجعة.

المحور الأول: سلسلة عمليات بدون أقواس

القاعدة

عندما تجتمع في العبارة الجمع والطرح والضرب والقسمة:

1. الضرب والقسمة أولا (لهما الأولوية)، ونبدأ بهما من اليسار إلى اليمين.
2. ثم الجمع والطرح من اليسار إلى اليمين.

مثال محلول (1)

احسب ⁦A = 23 - 20 ÷ 4 × 2 + 3 × 5⁩.

1. الضرب والقسمة أولا من اليسار: ⁦20 ÷ 4 = 5⁩، ثم ⁦5 × 2 = 10⁩، ثم ⁦3 × 5 = 15⁩.
2. تصبح العبارة ⁦A = 23 - 10 + 15⁩.
3. الجمع والطرح من اليسار: ⁦23 - 10 = 13⁩، ثم ⁦13 + 15 = 28⁩.
4. إذن ⁦A = 28⁩.

خطأ شائع

حساب ⁦23 - 20⁩ أولا لأنه يأتي أول العبارة. والصحيح أن القسمة تسبق الطرح حتى لو جاءت بعده.

المحور الثاني: سلسلة عمليات بأقواس

القاعدة

1. نحسب ما داخل الأقواس أولا، ونبدأ بالأقواس الداخلية (الصغيرة) ثم الخارجية.
2. ثم نطبق قاعدة الأولوية (ضرب وقسمة ثم جمع وطرح).

مثال محلول (2)

احسب ⁦B = 5 × [12 - (3 + 4) × 2] + 6⁩.

1. القوس الداخلي: ⁦3 + 4 = 7⁩.
2. داخل القوس الكبير: ⁦7 × 2 = 14⁩، ثم ⁦12 - 14 = -2⁩.
3. ⁦B = 5 × (-2) + 6 = -10 + 6 = -4⁩.

مثال محلول (3): عبارة مسألة

اشترى أحمد 3 كراريس ثمن الواحد ⁦45⁩ دينارا، ودفع ورقة ⁦200⁩ دينار. كم بقي له؟ العبارة ⁦200 - 3 × 45 = 200 - 135 = 65⁩. فبقي ⁦65⁩ دينارا.

المحور الثالث: الأعداد العشرية والقيمة المقربة

التقريب

القيمة المقربة إلى ⁦10⁻ⁿ⁩ تحذف الأرقام بعد المرتبة المطلوبة وتتبع قاعدة:

• إذا كان الرقم التالي أقل من 5 نبقي الرقم كما هو (تقريب بالنقصان).
• إذا كان 5 أو أكثر نزيد الرقم واحدا (تقريب بالزيادة).

الأنواع

القيمة المقربة بالنقصان والزيادة (القيمة المحصورة)

• القيمة المقربة بالنقصان للعدد ⁦7.846⁩ إلى جزء من 10: ⁦7.8⁩.
• القيمة المقربة بالزيادة: ⁦7.9⁩.

وهذه القيم الحصرية تستعمل في مسائل الأطوال والأسعار.

مثال محلول (4)

قرب ⁦3.2749⁩ إلى جزء من 100: الرقم الثالث بعد الفاصلة ⁦4⁩ أقل من 5، فنكتب ⁦3.27⁩.

مثال محلول (5): ترتيب عشرية

رتب تصاعديا ⁦2.35⁩ و⁦2.4⁩ و⁦2.305⁩ و⁦2.35⁩. نكتب بنفس عدد الخانات: ⁦2.350⁩ و⁦2.400⁩ و⁦2.305⁩ و⁦2.350⁩. الترتيب: ⁦2.305 < 2.35 = 2.35 < 2.4⁩.

المحور الرابع: الكسور

مقارنة الكسور

ترتيب الكسور

مثال محلول (6): رتب تنازليا ⁦3/4⁩ و⁦5/6⁩ و⁦2/3⁩.

• المقام المشترك ⁦12⁩: ⁦9/12⁩ و⁦10/12⁩ و⁦8/12⁩.
• الترتيب التنازلي: ⁦5/6 > 3/4 > 2/3⁩.

الكسور وعددها العشرية

⁦1/2 = 0.5⁩، و⁦1/4 = 0.25⁩، و⁦3/4 = 0.75⁩، و⁦1/5 = 0.2⁩، و⁦1/8 = 0.125⁩.

مقارنة كسر بالعدد 1

• إذا كان البسط أصغر من المقام فالكسر أصغر من 1.
• إذا كان أكبر فالكسر أكبر من 1.

المحور الخامس: الإنشاءات الهندسية

منصف قطعة مستقيمة (واسطها)

لإنشاء واسط القطعة ⁦[AB]⁩:

1. نضع الفرجار على ⁦A⁩ بفتحة أكبر من نصف ⁦AB⁩ ونرسم قوسين أعلى القطعة وأسفلها.
2. نحافظ على الفتحة نفسها ونضع الفرجار على ⁦B⁩ ونرسم قوسين يقطعان الأولين في ⁦M⁩ و⁦N⁩.
3. نصل ⁦(MN)⁩ فهو واسط القطعة (المستقيم المار من منتصفها والعمودي عليها).

منصف زاوية

لإنشاء منصف الزاوية ⁦xOy⁩:

1. نضع الفرجار على الرأس ⁦O⁩ ونرسم قوسا يقطع الضلعين في ⁦A⁩ و⁦B⁩.
2. نضع الفرجار على ⁦A⁩ ثم على ⁦B⁩ بفتحة واحدة ونرسم قوسين يتقاطعان في ⁦M⁩.
3. نصل ⁦(OM)⁩ فهو منصف الزاوية ويقسمها إلى زاويتين متساويتين.

خصائص

• كل نقطة على واسط القطعة تبعد المسافة نفسها عن طرفيها.
• كل نقطة على منصف الزاوية تبعد المسافة نفسها عن ضلعيها.

أسئلة اختبار نمطية

1. احسب ⁦12 + 3 × (8 - 2) ÷ 6⁩. (⁦15⁩)
2. قرب ⁦5.6849⁩ إلى جزء من 100. (⁦5.68⁩)
3. قارن ⁦7/9⁩ و⁦5/6⁩. (⁦5/6⁩ أكبر)
4. أنشئ منصف زاوية قيسها 70 درجة وتحقق من أن القيسين متساويان (35 درجة).

أخطاء شائعة

• تنفيذ العمليات بالترتيب الأفقي دون مراعاة الأولوية.
• نسيان حساب القوس الداخلي أولا.
• مقارنة كسرين بالمقامين فقط.
• خطأ فتحة الفرجار (أصغر من نصف القطعة فلا تتقاطع الأقواس).
• كتابة النقص والزيادة معا للتقريب.

نصائح

• اكتب كل خطوة في سطر مستقل وضع إطارا للنتيجة.
• حل تمرينين يوميا في كل محور قبل الفرض.
• أبق أدواتك الهندسية نظيفة وبرأس قلم رفيع.

الشرح المصوّر

لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، تقدم قناة سوبر وان التعليمية في فيديو «ملخص الفصل الأول في مادة الرياضيات للسنة الثانية متوسط مع نموذج جاهز للتحميل» هذا الملخص في نحو ثلاثين دقيقة.