كثيرات الحدود بوسيط للسنة الثانية ثانوي: المعادلات من الدرجة الثانية ذات الوسيط m ومناقشة الحلول

من أصعب تمارين السنة الثانية ثانوي، خاصة لشعبتي التقني رياضي والرياضي، معادلات من الدرجة الثانية فيها وسيط ⁦m⁩. فالتلميذ لا يطلب منه حل معادلة وحيدة بل حل عدد لا نهائي من المعادلات (واحدة لكل قيمة لـ⁦m⁩) وتصنيفها: متى يكون لها حلان؟ ومتى حل مضاعف؟ ومتى لا حل؟ ومتى تكون الجذور موجبة أو متقابلة؟ هذه المناقشة هي ما يميز الممتازين. تعرض الصفحة الطرق الثابتة التي تحل 90 بالمئة من هذه المسائل.

تذكير: المعادلة من الدرجة الثانية

الشكل العام: ⁦a x² + b x + c = 0⁩ حيث ⁦a⁩ غير معدوم.

المميز ⁦Δ = b² - 4 a c⁩:

علاقتا فييت (المجموع والجداء)

إذا كان لها جذران ⁦x1⁩ و⁦x2⁩:

• ⁦S = x1 + x2 = -b / a⁩.
• ⁦P = x1 × x2 = c / a⁩.

أولا: الخطوة الأولى دائما: هل المعادلة من الدرجة الثانية؟

عندما يكون المعامل ⁦a⁩ يتعلق بـ⁦m⁩، فيجب دراسة الحالة التي ينعدم فيها (⁦a = 0⁩) لأن المعادلة تصبح من الدرجة الأولى.

مثال (1)

⁦(m - 1) x² - 2 m x + m + 1 = 0⁩.

• حالة ⁦m = 1⁩: تصبح ⁦-2 x + 2 = 0⁩، إذن ⁦x = 1⁩ (حل وحيد).
• حالة ⁦m⁩ مختلف عن 1: معادلة من الدرجة الثانية، نحسب المميز.

ثانيا: حساب المميز بدلالة ⁦m⁩

بالمثال السابق: ⁦a = m - 1⁩ و⁦b = -2 m⁩ و⁦c = m + 1⁩.

⁦Δ = 4 m² - 4 (m - 1)(m + 1) = 4 m² - 4 (m² - 1) = 4⁩.

والمميز هنا ثابت موجب. إذن لكل ⁦m⁩ مختلف عن 1 حلان متمايزان:

⁦x = (2 m ± 2) / (2 (m - 1))⁩، أي ⁦x = (m + 1) / (m - 1)⁩ أو ⁦x = 1⁩.

ثالثا: أنماط المناقشة المألوفة

النمط 1: عدد الحلول بحسب m

ندرس إشارة ⁦Δ⁩ كعبارة من الدرجة الثانية في ⁦m⁩ (جدول الإشارة).

مثال (2): ناقش حسب ⁦m⁩ عدد حلول ⁦x² - 2 m x + m + 2 = 0⁩.

• ⁦Δ = 4 m² - 4 (m + 2) = 4 (m² - m - 2) = 4 (m - 2)(m + 1)⁩.
• جدول الإشارة لـ⁦(m - 2)(m + 1)⁩:

النمط 2: حلان متمايزان

شرطه: ⁦a⁩ غير معدوم و⁦Δ > 0⁩.

النمط 3: وجود جذر معلوم

لإيجاد ⁦m⁩ بحيث ⁦x = 1⁩ حل: نعوض ⁦x = 1⁩ فنحصل على معادلة في ⁦m⁩.

مثال (3): ⁦x² - (m + 1) x + m = 0⁩ نعوض ⁦x = 1⁩: ⁦1 - m - 1 + m = 0⁩، محققة لكل ⁦m⁩. إذن ⁦1⁩ حل دائما، والحل الثاني من الجداء ⁦x2 = c / (a × 1) = m⁩.

النمط 4: إشارة الجذور

باستعمال المجموع ⁦S⁩ والجداء ⁦P⁩ والمميز ⁦Δ⁩:

مثال (4): عين ⁦m⁩ ليكون لـ⁦x² - 2 x + m = 0⁩ جذران موجبان متمايزان.

• ⁦Δ = 4 - 4 m > 0⁩ إذن ⁦m < 1⁩.
• ⁦P = m > 0⁩.
• ⁦S = 2 > 0⁩ دائما.
• النتيجة: ⁦0 < m < 1⁩.

النمط 5: علاقة مستقلة عن m

نطلب علاقة بين الجذرين لا تحتوي ⁦m⁩. نستعمل ⁦S⁩ و⁦P⁩ ثم نحذف ⁦m⁩.

مثال (5): لـ⁦x² - m x + m - 1 = 0⁩: ⁦S = m⁩ و⁦P = m - 1⁩، إذن ⁦P = S - 1⁩، أي ⁦x1 x2 = x1 + x2 - 1⁩. هذه علاقة مستقلة عن ⁦m⁩.

النمط 6: عبارة تتضمن الجذرين

نحسب ⁦x1² + x2²⁩ من ⁦S⁩ و⁦P⁩: ⁦x1² + x2² = S² - 2 P⁩.

وكذلك ⁦1/x1 + 1/x2 = S / P⁩ و⁦(x1 - x2)² = S² - 4 P⁩.

رابعا: عبارة مفاتيح الحل

1. ابدأ بتحديد قيمة ⁦m⁩ التي تعدم ⁦a⁩.
2. احسب ⁦Δ⁩ بدلالة ⁦m⁩ وبسطه.
3. حلل ⁦Δ⁩ (غالبا ينتج جداء عاملين) وارسم جدول إشارة.
4. فسر كل خانة: عدد الحلول.
5. انتقل إلى ⁦S⁩ و⁦P⁩ إذا كان السؤال عن إشارة الجذور أو علاقة بينهما.
6. لا تنس فحص القيم الحدية (مثل ⁦m = 1⁩ في المثال الأول).

خامسا: أمثلة مدمجة

مثال (6): ⁦m x² - 2 (m - 1) x + m - 2 = 0⁩. ناقش حلولها.

• إذا ⁦m = 0⁩: ⁦2 x - 2 = 0⁩، فـ⁦x = 1⁩.
• إذا ⁦m⁩ غير معدوم: ⁦Δ = 4 (m - 1)² - 4 m (m - 2) = 4 (m² - 2 m + 1 - m² + 2 m) = 4⁩.
• إذن ⁦Δ = 4⁩ موجب دائما: حلان متمايزان: ⁦x = ((m - 1) ± 1) / m⁩، أي ⁦x = 1⁩ و⁦x = (m - 2) / m⁩.

ويلاحظ أن ⁦x = 1⁩ جذر دائم، ويمكن تحقق ذلك بالتعويض.

أخطاء شائعة

• نسيان حالة انعدام معامل ⁦x²⁩.
• حساب المميز بخطأ في الإشارة عند ⁦b⁩ سالب (⁦b² موجب دائما⁩).
• القسمة على ⁦m⁩ دون التأكد من أنه مختلف عن الصفر.
• الاكتفاء بـ⁦Δ > 0⁩ لوجود جذرين موجبين دون فحص ⁦S⁩ و⁦P⁩.
• نسيان إدراج القيم الحدية في الجواب النهائي.

تمارين للتدرب

1. ناقش حسب ⁦m⁩ حلول ⁦x² + m x + 1 = 0⁩. (حلان إذا ⁦|m| > 2⁩، مضاعف إذا ⁦|m| = 2⁩، لا حل إذا ⁦|m| < 2⁩)
2. عين ⁦m⁩ ليكون لـ⁦x² - 3 x + m = 0⁩ جذران أحدهما ضعف الآخر. (⁦m = 2⁩)
3. عين ⁦m⁩ بحيث ⁦x² - m x + 4 = 0⁩ لها حل مضاعف. (⁦m = 4⁩ أو ⁦m = -4⁩)

نصائح

• اجعل المميز في صورة جداء كلما أمكن لتسهيل جدول الإشارة.
• تحقق من الحل بتعويض قيمة محددة لـ⁦m⁩.
• اكتب خاتمة منظمة بجدول يلخص كل الحالات.

الشرح المصوّر

لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ كساسي رياضيا في فيديو «كثيرات حدود بالوسيط m، ثانية ثانوي لشعبة تقني رياضي ورياضي» هذا الدرس للممتازين.