في السنتين السابقتين كنت تبحث عن العدد المجهول بكتابة مثل 5 + ? = 12. وفي السنة الثانية متوسط تعطي هذا المجهول اسمًا، غالبًا x، وتسمي العبارة معادلة، وتتعلم طريقة منظمة تحل بها أي معادلة من هذا النوع. وهذا من أهم دروس السنة. تعرض هذه الصفحة معنى المعادلة وحلها، ثم خطوات الحل وتقنية النقل، ثم حالات الأقواس والكسور، ثم المسائل التي تؤول إلى معادلة، وتنتهي بأخطاء متكررة وتمارين محلولة.
معنى المعادلة وحلها
المعادلة مساواة تحتوي على مجهول. وحلها هو قيمة المجهول التي تجعل المساواة صحيحة، أي يتساوى طرفاها. فإذا كانت x + 7 = 12 فالعدد 5 حل لأن 5 + 7 = 12، أما 6 فليس حلًا لأن 6 + 7 = 13.
وتحقق من حلك دائمًا بتعويضه في طرفي المعادلة الأصلية، فإذا تساوى الطرفان فحلك صحيح.
قاعدتان أساسيتان
المعادلة ميزان متوازن، وكل ما نفعله في طرف يجب أن نفعله في الطرف الآخر:
- إذا أضفنا أو طرحنا العدد نفسه إلى الطرفين فالحل لا يتغير.
- إذا ضربنا أو قسمنا الطرفين على العدد نفسه غير المعدوم فالحل لا يتغير.
وهاتان القاعدتان هما أصل تقنية النقل: ننقل حدًا من طرف إلى آخر بتغيير إشارته (جمعه يصبح طرحًا والعكس)، وننقل المعامل بالضرب إلى الطرف الآخر بالقسمة.
خطوات الحل
- انشر وبسّط كل طرف إن كان فيه أقواس أو حدود متشابهة.
- اجمع الحدود التي فيها
xفي طرف والأعداد في الطرف الآخر بتقنية النقل. - اقسم على معامل
xلإيجاد قيمته. - تحقق بتعويض القيمة في المعادلة الأصلية.
أمثلة
1. x + 7 = 12. ننقل 7: x = 12 − 7 = 5.
2. 3x = 18. نقسم على 3: x = 6.
3. 2x + 5 = 17. ننقل 5: 2x = 12 ثم x = 6. تحقق: 2 × 6 + 5 = 17.
4. 5x − 3 = 2x + 9. نجمع حدود x في طرف: 5x − 2x = 9 + 3 أي 3x = 12 ومنه x = 4. تحقق: الطرف الأيسر 5 × 4 − 3 = 17 والأيمن 2 × 4 + 9 = 17.
5. بقوس: 3 (x − 2) = 2x + 4. ننشر: 3x − 6 = 2x + 4 ثم 3x − 2x = 4 + 6 فـ x = 10. تحقق: 3 × 8 = 24 و 2 × 10 + 4 = 24.
6. بكسر: x / 2 + 1 = 4. ننقل 1: x / 2 = 3 ثم نضرب في 2: x = 6.
مسائل تؤول إلى معادلة
نختار المجهول ونسميه، ثم نترجم المعطيات إلى معادلة، ثم نحلها، ثم نتحقق ونجيب بجملة.
مسألة 1. فكرت في عدد، ضربته في 3 ثم أضفت 4 فحصلت على 19. ما العدد؟ المعادلة 3x + 4 = 19 ومنه 3x = 15 أي x = 5.
مسألة 2. مستطيل طوله يزيد 3 cm عن عرضه ومحيطه 26 cm. نسمي العرض x فالطول x + 3 والمحيط 2 (x + x + 3) = 26 أي 4x + 6 = 26 ومنه x = 5. العرض 5 cm والطول 8 cm.
أخطاء شائعة
- نسيان تغيير الإشارة عند نقل حد إلى الطرف الآخر.
- القسمة على المعامل في أحد الحدود فقط. يجب قسمة كل حدود الطرف.
- نشر قوس مضروب في عدد بضرب أول حد فقط، مثل
3 (x − 2) = 3x − 2. - الخطأ في إشارة الحد بعد النشر عند وجود إشارة سالبة أمام القوس.
- ترك التحقق، وهو الوسيلة الوحيدة للتأكد.
- نقل
xإلى الطرف الذي فيه معامل أصغر دون انتباه للإشارات.
تمارين للتدرب
- حل
x − 9 = 14. - حل
4x + 3 = 27. - حل
6x − 5 = 4x + 7. - حل
2 (x + 3) = 18. - مجموع ثلاثة أعداد صحيحة متتالية 51. ما هي؟
الحلول:
x = 14 + 9 = 23.4x = 24فـx = 6.6x − 4x = 7 + 5أي2x = 12ومنهx = 6.2x + 6 = 18ثم2x = 12فـx = 6.- نسمي الأول
x:x + (x + 1) + (x + 2) = 51أي3x + 3 = 51ومنهx = 16. الأعداد16و17و18.
الشرح المصوّر وملفات التمارين
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يعرض الأستاذ دقيش علي في فيديو «المعادلات: جميع الحالات الممكنة، الثانية متوسط» الدرس في نحو ثلاث عشرة دقيقة، مذكّرًا بدرس البحث عن المجهول في السنتين السابقتين ثم يقدّم المعادلة بوصفها مساواة تتضمن مجهولًا وحلها إيجاد قيمة المجهول.
وللتدرب على تمارين حقيقية، اطلع على هذين الملفين في الموقع: