قواسم عدد طبيعي: تعريف القاسم والمضاعف وقابلية القسمة والقواسم المشتركة - السنة الرابعة متوسط

أول درس في الرياضيات للسنة الرابعة متوسط يبدأ بالمقطع الأول الأعداد الطبيعية والأعداد الناطقة، وأول عنوان فيه قواسم عدد طبيعي. وهو درس بسيط جدًا لكنه أساس كل ما بعده: القاسم المشترك الأكبر، والكسور غير القابلة للاختزال، والأعداد الأولية فيما بينها، وحلّ الوضعيات الإدماجية. وبقدر ما تتقنه الآن تسهل عليك مواضيع شهادة التعليم المتوسط لاحقًا. تعرض هذه الصفحة تعريف القاسم والمضاعف، ثم القسمة الإقليدية، ثم إيجاد القواسم، ثم معايير القسمة، ثم القواسم المشتركة، وتنتهي بأخطاء متكررة وتمارين محلولة.

تذكير: القسمة الإقليدية

لقسمة عدد طبيعي ⁦a⁩ على عدد طبيعي ⁦b⁩ غير معدوم، توجد قسمة إقليدية تعطي حاصل ⁦q⁩ وباقيًا ⁦r⁩:

⁦a = b × q + r⁩

حيث ⁦0 ≤ r < b⁩. ومثال: ⁦47 = 5 × 9 + 2⁩، فالحاصل ⁦9⁩ والباقي ⁦2⁩. وتذكر دائمًا أنه لا يمكن القسمة على الصفر.

القاسم والمضاعف

لتكن ⁦a⁩ و⁦b⁩ عددين طبيعيين مع ⁦b⁩ غير معدوم. نقول إن ⁦b⁩ قاسم للعدد ⁦a⁩ إذا كان باقي القسمة الإقليدية للعدد ⁦a⁩ على ⁦b⁩ يساوي الصفر.

أو بعبارة أخرى: إذا وجد عدد طبيعي ⁦k⁩ يحقق:

⁦a = b × k⁩

وفي هذه الحالة نقول أيضًا:

• ⁦a⁩ مضاعف للعدد ⁦b⁩.
• ⁦a⁩ يقبل القسمة على ⁦b⁩.
• ⁦b⁩ يقسم ⁦a⁩.

أمثلة:

• ⁦6⁩ قاسم لـ ⁦42⁩ لأن ⁦42 = 6 × 7⁩.
• ⁦42⁩ مضاعف لـ ⁦6⁩ وللعدد ⁦7⁩.
• ⁦5⁩ ليس قاسمًا لـ ⁦47⁩ لأن الباقي ⁦2⁩ وليس صفرًا.

ملاحظات

• العدد ⁦1⁩ قاسم لكل عدد طبيعي.
• كل عدد طبيعي غير معدوم ⁦a⁩ قاسم لنفسه.
• الصفر مضاعف لكل عدد.
• قواسم عدد طبيعي ⁦a⁩ غير معدوم أصغر من أو تساوي ⁦a⁩.

كيف نجد جميع قواسم عدد؟

نجرب كل الأعداد ⁦1⁩ و⁦2⁩ و⁦3⁩... الأصغر من أو التي تساوي جذره التقريبي، وكل قاسم نجده يعطي قاسمًا آخر مقترنًا به (حاصل القسمة).

مثال: قواسم ⁦36⁩:

• ⁦1 × 36 = 36⁩: القاسمان ⁦1⁩ و⁦36⁩.
• ⁦2 × 18 = 36⁩: القاسمان ⁦2⁩ و⁦18⁩.
• ⁦3 × 12 = 36⁩: ⁦3⁩ و⁦12⁩.
• ⁦4 × 9 = 36⁩: ⁦4⁩ و⁦9⁩.
• ⁦5⁩ لا يقسم ⁦36⁩ (الباقي ⁦1⁩).
• ⁦6 × 6 = 36⁩: القاسم ⁦6⁩ (مرة واحدة).

قواسم ⁦36⁩ هي: ⁦1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36⁩، وعددها تسعة.

مثال: قواسم ⁦28⁩: ⁦1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 14 ; 28⁩.

معايير قابلية القسمة

تسهل علينا معرفة قاسم دون إجراء القسمة:

وبالعكس: إذا كان العدد يقبل القسمة على ⁦9⁩ فهو يقبلها على ⁦3⁩.

القواسم المشتركة

القاسم المشترك لعددين هو عدد يقسم كليهما معًا.

مثال: قواسم ⁦12⁩: ⁦1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12⁩، وقواسم ⁦18⁩: ⁦1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18⁩. القواسم المشتركة: ⁦1 ; 2 ; 3 ; 6⁩. وأكبرها هو ⁦6⁩، ويسمى القاسم المشترك الأكبر ونرمز له ⁦PGCD(12 ; 18) = 6⁩. وستعرف طرقًا أخرى لحسابه في الدروس التالية (بالطرح المتتالي وخوارزمية إقليدس).

أخطاء شائعة

• الخلط بين القاسم والمضاعف.
• نسيان ⁦1⁩ والعدد نفسه ضمن القواسم.
• نسيان القاسم المقترن عند البحث عن القواسم.
• الظن أن القسمة على الصفر ممكنة.
• القول إن ⁦0⁩ قاسم لعدد، فلا يقسم عدد على الصفر.
• الخلط بين معيار القسمة على ⁦3⁩ ومعيار القسمة على ⁦9⁩.

تمارين للتدرب

1. أوجد جميع قواسم ⁦24⁩ و⁦45⁩.
2. هل ⁦7⁩ قاسم لـ ⁦91⁩؟ علل.
3. هل العدد ⁦612⁩ يقبل القسمة على ⁦9⁩؟
4. أوجد القواسم المشتركة لـ ⁦20⁩ و⁦30⁩.
5. عدد يقبل القسمة على ⁦2⁩ و⁦3⁩ معًا. على أي عدد آخر يقبل القسمة؟

الحلول:

1. قواسم ⁦24⁩: ⁦1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24⁩. قواسم ⁦45⁩: ⁦1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 15 ; 45⁩.
2. نعم، ⁦91 = 7 × 13⁩.
3. ⁦6 + 1 + 2 = 9⁩، فهو يقبل القسمة على ⁦9⁩.
4. قواسم ⁦20⁩: ⁦1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 ; 20⁩، وقواسم ⁦30⁩: ⁦1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30⁩. المشتركة: ⁦1 ; 2 ; 5 ; 10⁩.
5. على ⁦6⁩.

الشرح المصوّر

لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، تقدم قناة معلمي تاج الوقار في فيديو «التعرف على قاسم لعدد طبيعي، الدرس 01، الرياضيات، السنة الرابعة متوسط» هذا الدرس في نحو ثماني دقائق، وهو أول درس في مادة الرياضيات، مع بداية المقطع الأول المتعلق بالأعداد الطبيعية والأعداد الناطقة.

وللتوسع، اطلع على هذين الملفين في الموقع:

• درس الأعداد الطبيعية: القاسم والقاسم المشترك الأكبر والاختزال
• سلسلة تمارين القاسم المشترك الأكبر للأستاذ بوطبيبة