بعد أن تعلمت في دروس سابقة كيف تحسب القاسم المشترك الأكبر (PGCD) لعددين طبيعيين بثلاث طرق، هي القواسم والطرح المتتالي والقسمات المتتالية (خوارزمية إقليدس)، يأتي السؤال: وما فائدته؟ أين نستعمله؟ يجيب هذا الدرس عن ذلك: نستعمل PGCD في ثلاثة مواضع على الأقل: العددان الأوليان فيما بينهما، واختزال الكسور إلى كسر غير قابل للاختزال، وحل المسائل والوضعيات الإدماجية. تعرض هذه الصفحة تذكيرًا بـ PGCD، ثم العددين الأوليين فيما بينهما، ثم الكسر غير القابل للاختزال، ثم الوضعيات، وتنتهي بأخطاء متكررة وتمارين محلولة.
تذكير: القاسم المشترك الأكبر
القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين a وb هو أكبر قاسم يقسمهما معًا، ونرمز له PGCD(a ; b). ثلاث طرق لحسابه:
- بالقواسم: نكتب قواسم كل عدد ونختار أكبر قاسم مشترك.
- بالطرح المتتالي: نطرح الأصغر من الأكبر ونكرر على العددين الأصغر والفرق حتى نحصل على عددين متساويين، وهو PGCD.
- بخوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية): نقسم الأكبر على الأصغر، ثم الأصغر على الباقي، وهكذا، وآخر باقٍ غير معدوم هو PGCD.
مثال بخوارزمية إقليدس: PGCD(84 ; 36):
84 = 36 × 2 + 12.36 = 12 × 3 + 0.
آخر باقٍ غير معدوم هو 12، إذن PGCD(84 ; 36) = 12.
العددان الأوليان فيما بينهما
يقال عن عددين طبيعيين إنهما أوليان فيما بينهما إذا كان قاسمهما المشترك الوحيد هو 1، أي:
PGCD(a ; b) = 1
أمثلة:
8و15: قواسم8:1 ; 2 ; 4 ; 8. وقواسم15:1 ; 3 ; 5 ; 15. المشترك1فقط، إذنPGCD(8 ; 15) = 1وهما أوليان فيما بينهما.12و18ليسا كذلك لأنPGCD(12 ; 18) = 6.
ملاحظات
- عددان أوليان فيما بينهما لا يعني أن كلًا منهما عدد أولي:
8و15ليسا أوليين، لكنهما أوليان فيما بينهما. - أي عددين أوليين مختلفين هما أوليان فيما بينهما.
- متتاليان
nوn + 1أوليان فيما بينهما دائمًا.
الكسر غير القابل للاختزال
الكسر a / b غير قابل للاختزال إذا كان البسط والمقام أوليين فيما بينهما، أي PGCD(a ; b) = 1.
كيف نحصل على كسر غير قابل للاختزال؟
نقسم البسط والمقام على PGCD لهما:
a / b = (a ÷ d) / (b ÷ d) حيث d = PGCD(a ; b).
مثال: اختزل 84 / 36 إلى كسر غير قابل للاختزال.
PGCD(84 ; 36) = 12.84 ÷ 12 = 7و36 ÷ 12 = 3.- إذن
84 / 36 = 7 / 3، وهو غير قابل للاختزال لأنPGCD(7 ; 3) = 1.
وميزة القسمة على PGCD أنها تعطي الكسر المبسط في خطوة واحدة بدل الاختزال المتكرر.
توظيف PGCD في الوضعيات
مسألة 1: تقسيم مستطيل إلى مربعات
قطعة أرض مستطيلة بعداها 84 m و36 m. نريد تقسيمها إلى مربعات متساوية بلا بقايا، بأكبر ضلع ممكن.
- ضلع المربع يقسم
84و36معًا، وأكبر ضلع هوPGCD(84 ; 36) = 12 m. - عدد المربعات:
(84 ÷ 12) × (36 ÷ 12) = 7 × 3 = 21مربعًا.
مسألة 2: توزيع بالتساوي
عند صانع حلويات 84 قطعة حلوى من الأولى و36 من الثانية. يريد أن يصنع أكياسًا متماثلة بحيث لا يبقى شيء، وبأكبر عدد ممكن من الأكياس.
- عدد الأكياس يقسم
84و36، وأكبره12كيسًا. - في كل كيس:
84 ÷ 12 = 7قطع من الأولى و36 ÷ 12 = 3من الثانية.
أخطاء شائعة
- القول إن
PGCDهو أكبر عدد يقسم أحد العددين. - القول إن عددين أوليين فيما بينهما يجب أن يكونا أوليين.
- اختزال الكسر بأي قاسم والاعتقاد أنه غير قابل للاختزال.
- في المسائل: استعمال PGCD بدل PPCM (المضاعف المشترك الأصغر) أو العكس.
- الخطأ في آخر باقٍ غير معدوم في خوارزمية إقليدس.
- نسيان أن PGCD يعطي أكبر عدد ممكن من الأكياس أو أكبر ضلع.
تمارين للتدرب
- احسب
PGCD(105 ; 45)بخوارزمية إقليدس. - هل
25و36أوليان فيما بينهما؟ - اختزل
105 / 45إلى كسر غير قابل للاختزال. - نريد قص لوحة مستطيلة
60 cmو42 cmإلى مربعات متطابقة بأكبر ضلع. ما طول الضلع وكم عدد المربعات؟
الحلول:
105 = 45 × 2 + 15، ثم45 = 15 × 3 + 0. إذنPGCD = 15.- نعم،
PGCD(25 ; 36) = 1. PGCD = 15فـ105 / 45 = 7 / 3.PGCD(60 ; 42) = 6. الضلع6 cm، والعدد(60 ÷ 6) × (42 ÷ 6) = 10 × 7 = 70مربعًا.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يشرح الأستاذ سليم مختارة في فيديو «الدرس 04: العددان الأوليان فيما بينهما والكسر غير القابل للاختزال، السنة الرابعة متوسط» هذا الدرس في نحو خمس عشرة دقيقة، بعد أن تناول حساب PGCD بثلاث طرق: القواسم والطرح المتتالي والقسمات المتتالية، ويوضح أين نوظفه، ومنها الوضعيات الإدماجية.