التمرين الأول في سلسلة تمارين الجذور مأخوذ من شهادة التعليم المتوسط 2026. فيه ثلاثة أعداد A وB وC، وثلاثة أسئلة: حساب A واستنتاج علاقة بين العددين 65 و77، وكتابة B على الشكل a√3، وكتابة C بمقام ناطق. تحل الصفحة السؤالين الأولين، وتنتهي بقاعدة وتمارين.
السؤال الأول: احسب A واستنتج ما يخص 65 و77
يتبين أن A = PGCD(77 ; 65)، فالسؤال لا علاقة له بالجذور، بل بدرس القاسم المشترك الأكبر. نستعمل القسمات المتتالية:
77 = 65 × 1 + 1265 = 12 × 5 + 512 = 5 × 2 + 25 = 2 × 2 + 12 = 1 × 2 + 0
آخر باق غير معدوم هو 1، إذن A = 1.
الاستنتاج: بما أن PGCD(77 ; 65) = 1 فإن العددين 65 و77 أوليان فيما بينهما. ولا تكتف بالحساب، فالجزء الثاني من السؤال مطلوب كتابته بوضوح.
السؤال الثاني: اكتب B على الشكل a√3
العبارة B = √48 - √75 + √147. ولا نستطيع جمع أو طرح جذرين غير متشابهين، فنحول كلا منها إلى جذر √3 مضروب في عدد طبيعي، بتحليل ما تحت الجذر إلى مربع كامل في 3:
48 = 16 × 3، فـ√48 = √16 × √3 = 4√3.75 = 25 × 3، فـ√75 = 5√3.147 = 49 × 3، فـ√147 = 7√3.
ثم:
B = 4√3 - 5√3 + 7√3 = (4 - 5 + 7)√3 = 6√3
إذن B = 6√3 وa = 6 (عدد طبيعي، دون فاصلة أو سالب).
كيف اكتشفنا الأعداد؟
قسمنا كل عدد تحت الجذر على 3 (وهي ما يعطيه التمرين): 48 ÷ 3 = 16، و75 ÷ 3 = 25، و147 ÷ 3 = 49، وكلها مربعات كاملة (4²، 5²، 7²) تخرج من الجذر، وهي «التي لها حساسية من الجذر» كما يقول الأستاذ.
قواعد للتذكير
| القاعدة | مثال |
|---|---|
√(ab) = √a × √b |
√48 = √16 × √3 |
| لا جمع إلا للجذور المتشابهة | 4√3 + 7√3 = 11√3 |
√(a²) = a |
√16 = 4 |
| PGCD يساوي 1 يعني أوليان فيما بينهما | 65 و77 |
تمارين
- بسط
√12 + √27. (5√3) - هل 35 و18 أوليان فيما بينهما؟ (نعم)
- اكتب
√50على الشكلa√2. (5√2)
نصائح
- اكتب الاستنتاج بجملة كاملة: «بما أن PGCD يساوي 1 فإن...».
- ابحث عن أكبر مربع كامل يقسم العدد تحت الجذر.
- ابدأ بالتحليل ثم الجمع.
أخطاء شائعة
- جمع الجذور غير المتشابهة مباشرة.
- نسيان الاستنتاج بعد حساب PGCD.
- كتابة
aعددا عشريا.
أسئلة يطرحها الأولياء
س: كم من الوقت أخصص لمراجعة هذا الدرس؟ ج: عشرون دقيقة يوميًا لمدة ثلاثة أيام تكفي، مع تمرينين في اليوم الرابع للتأكد من الفهم.
س: ابني يعرف الدرس لكنه يخطئ في الاختبار، لماذا؟ ج: غالبًا بسبب التسرع أو عدم قراءة التعليمة جيدًا. درّبه على قراءة السؤال مرتين وتسطير الكلمات المهمة قبل الإجابة، وعلى مراجعة الجواب في آخر الحصة.
س: هل أعتمد على الكتب الخارجية؟ ج: يمكن الاستعانة بها بعد إتقان الكتاب المدرسي، والأهم أن يفهم الطفل لا أن يحل أكبر عدد من التمارين.
كيف أتحقق من أن الدرس قد فهم؟
اطلب من ابنك أن يشرح الدرس لك أو لأخيه الأصغر بكلماته، وأن يعطي مثالًا من عنده، وأن يحل تمرينًا لم يره من قبل. فإذا استطاع ذلك فقد فهم، وإن تردد فعد معه إلى الأمثلة الملموسة ثم أعد التجربة.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ ناصر في فيديو «Solution to the First Exercise from BEM 2026، درس الجذور» هذا الحل في نحو إحدى عشرة دقيقة.