يتناول هذا الدرس من رياضيات السنة الرابعة متوسط ثلاثة مفاهيم مترابطة: القاسم المشترك الأكبر، واختزال الكسور، والعددان الأوليان فيما بينهما. وسيحتاج إليها التلميذ حتى شهادة التعليم المتوسط. تعرض الصفحة كل مفهوم بمثال، وتنتهي بتمارين.
تذكير: قواعد قابلية القسمة
نتعرف بسرعة على قواسم عدد بقواعد القسمة (على 2 وعلى 3 وعلى 5 وعلى 9 وعلى 10). مثلا العدد 472 زوجي فيقبل القسمة على 2، ومجموع أرقامه 13 فلا يقبل القسمة على 3.
القاسم المشترك الأكبر
القاسم المشترك الأكبر للعددين الطبيعيين
aوbهو أكبر عدد يقسمهما معا، ويرمز لهPGCD(a ; b).
الطريقة الأولى: قوائم القواسم
مثال: PGCD(24 ; 36).
- قواسم 24:
1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 8 ، 12 ، 24. - قواسم 36:
1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 9 ، 12 ، 18 ، 36. - القواسم المشتركة:
1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 12. - أكبرها
12، إذنPGCD(24 ; 36) = 12.
الطريقة الثانية: خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية)
نقسم العدد الأكبر على الأصغر، ثم الأصغر على الباقي، وهكذا حتى يكون الباقي صفرا. آخر باقٍ غير معدوم هو القاسم المشترك الأكبر.
مثال: PGCD(252 ; 90).
252 = 90 × 2 + 72.90 = 72 × 1 + 18.72 = 18 × 4 + 0.
آخر باقٍ غير معدوم هو 18، إذن PGCD(252 ; 90) = 18.
وهذه الطريقة أسرع في الأعداد الكبيرة.
اختزال كسر
اختزال كسر معناه قسمة بسطه ومقامه على قاسم مشترك. ونصل إلى كسر غير قابل للاختزال بقسمتهما على PGCD.
مثال: اختزل 252 / 90 إلى كسر غير قابل للاختزال.
بما أن PGCD(252 ; 90) = 18 نقسم:
252 / 90 = (252 ÷ 18) / (90 ÷ 18) = 14 / 5
فالكسر 14/5 غير قابل للاختزال لأن PGCD(14 ; 5) = 1.
العددان الأوليان فيما بينهما
يكون عددان طبيعيان أوليين فيما بينهما إذا كان قاسمهما المشترك الأكبر يساوي 1.
أمثلة:
PGCD(14 ; 5) = 1← العددان 14 و5 أوليان فيما بينهما.PGCD(8 ; 15) = 1← 8 و15 أوليان فيما بينهما، مع أن أيا منهما ليس أوليا.PGCD(12 ; 18) = 6← ليسا أوليين فيما بينهما.
ومنه: كسر غير قابل للاختزال يعني بسطه ومقامه أوليان فيما بينهما.
استعمالات القاسم المشترك الأكبر
- اختزال الكسور إلى أبسط صورة.
- توزيع مقادير على مجموعات متساوية (مسائل التقسيم).
- تبليط سطح بمربعات متماثلة أكبر ما يمكن.
مثال تطبيقي
يريد صاحب مكتبة توزيع 48 كتابا و72 دفترا على رفوف بحيث يحمل كل رف العدد نفسه من الكتب والعدد نفسه من الدفاتر. ما أكبر عدد من الرفوف؟
- نبحث عن
PGCD(48 ; 72):72 = 48 × 1 + 24و48 = 24 × 2 + 0، فـPGCD = 24. - أكبر عدد من الرفوف
24، يحمل كل رف كتابين و3دفاتر.
تمارين
- احسب
PGCD(60 ; 42)بخوارزمية إقليدس. (6) - اختزل
36 / 48. (3/4) - هل 21 و22 أوليان فيما بينهما؟ (نعم،
PGCD = 1) - بين أن
35/12غير قابل للاختزال. (PGCD(35 ; 12) = 1)
نصائح
- اكتب كل قسمة بالصيغة
a = b × q + r. - تذكر أن آخر باقٍ غير معدوم هو الجواب.
- تحقق من الكسر النهائي بحساب PGCD لبسطه ومقامه.
أخطاء شائعة
- أخذ آخر باقٍ (الصفر) بدل آخر باقٍ غير معدوم.
- القول إن عددين أوليين فيما بينهما يجب أن يكونا أوليين كل على حدة.
- اختزال الكسر بقاسم غير مشترك.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ أسامة في فيديو «الدرس الأول: القاسم المشترك الأكبر، 4 متوسط، BEM 2026» هذا الدرس في نحو خمس وعشرين دقيقة.