في المقطع الأول من برنامج الرياضيات للسنة الرابعة متوسط درست الجذور التربيعية: كيف نجري العمليات عليها، وكيف نحل المعادلة x² = b، وكيف نبسط عبارة فيها جذور. وآخر عنصر في الدرس نسبة مقامها عدد ناطق: يعطيك نسبة مقامها فيه جذر (عدد غير ناطق) ويطلب منك أن تكتبها بحيث يصبح المقام عددًا ناطقًا. ولفهم ذلك يجب أن تفرق جيدًا بين العدد الناطق والعدد غير الناطق. تعرض هذه الصفحة هذا الفرق، ثم الطريقة الأولى (الضرب في الجذر)، ثم الطريقة الثانية (الضرب في المرافق)، وتنتهي بأخطاء شائعة وتمارين محلولة.
العدد الناطق وغير الناطق
العدد الناطق هو كل عدد يمكن كتابته على الشكل a / b حيث a وb عددان صحيحان نسبيان وb غير معدوم (لأنه في المقام).
أمثلة:
3ناطق:3 = 3 / 1.0.25ناطق:1 / 4.−7 / 5ناطق.
أما العدد غير الناطق فلا يمكن كتابته على هذا الشكل، مثل √2 و√3 و√5 وπ. وكتابتهم العشرية لا تنتهي ولا تتكرر بدور منتظم.
ملاحظة: الجذر التربيعي لمربع كامل عدد ناطق: √9 = 3 و√25 = 5.
المقصود بالدرس
نريد كتابة نسبة مثل 1 / √2 بحيث لا يظهر جذر في المقام، ليكون المقام عددًا ناطقًا. وهذا ما يسمى جعل المقام ناطقًا. وفائدته تسهيل الحساب والمقارنة.
الطريقة الأولى: مقام جذر واحد
نضرب البسط والمقام في الجذر الموجود في المقام، فنحصل على مقام ناطق لأن √a × √a = a.
مثال 1: 1 / √2.
نضرب البسط والمقام في √2:
1 / √2 = (1 × √2) / (√2 × √2) = √2 / 2.
مثال 2: 5 / √3 = (5 × √3) / (√3 × √3) = 5√3 / 3.
مثال 3: 3 / (2√5). نضرب في √5:
3 / (2√5) = (3 × √5) / (2√5 × √5) = 3√5 / (2 × 5) = 3√5 / 10.
مثال 4: √3 / √2 = (√3 × √2) / (√2 × √2) = √6 / 2.
الطريقة الثانية: مقام فيه مجموع أو فرق جذور (المرافق)
إذا كان المقام من الشكل a + √b أو a − √b فنضرب البسط والمقام في المرافق، أي نغير إشارة الجذر. ونستعمل المتطابقة الشهيرة:
(x + y)(x − y) = x² − y²
مثال 5: 1 / (√3 + 1). المرافق هو √3 − 1.
1 / (√3 + 1) = (√3 − 1) / ((√3 + 1)(√3 − 1)) = (√3 − 1) / (3 − 1) = (√3 − 1) / 2.
مثال 6: 2 / (√5 − 2). المرافق √5 + 2:
2 / (√5 − 2) = 2(√5 + 2) / (5 − 4) = 2√5 + 4.
ملخص
| الشكل | نضرب البسط والمقام في |
|---|---|
1 / √a |
√a |
1 / (√a + b) |
√a − b (المرافق) |
1 / (√a − b) |
√a + b (المرافق) |
أخطاء شائعة
- ضرب المقام فقط دون البسط.
- إخراج الجذر من المقام ثم نسيان تبسيط الناتج.
- الخطأ في إشارة المرافق: المرافق لـ
√3 + 1هو√3 − 1وليس−√3 − 1. - القول إن
√a + √bتساوي√(a + b). هذا خطأ. - خطأ في النشر:
(√3 + 1)(√3 − 1) = 3 − 1وليس3 + 1. - الخلط بين العدد الناطق وغير الناطق.
تمارين للتدرب
اكتب المقام عددًا ناطقًا:
4 / √2.7 / (3√7).1 / (√2 + 1).6 / (√7 − 1).
الحلول:
4√2 / 2 = 2√2.7√7 / (3 × 7) = √7 / 3.(√2 − 1) / (2 − 1) = √2 − 1.6(√7 + 1) / (7 − 1) = √7 + 1.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يشرح الأستاذ سليم مختارة في فيديو «الدرس 08: نسبة مقامها عدد ناطق، جميع الحالات الممكنة، السنة الرابعة متوسط» هذا الدرس في نحو إحدى عشرة دقيقة، وهو آخر عنصر في الجذور التربيعية، بعد أن رأى التلاميذ كيف تجرى العمليات على الجذور وكيف تحل المعادلة x² = b وكيف تبسط عبارات الجذور.
وللتوسع، اطلع على هذين الملفين في الموقع: