خاصية طالس وعكسها للسنة الرابعة متوسط: النسب المتساوية والمستقيمات المتوازية مع تطبيقات

درس خاصية طالس من أهم دروس الهندسة في السنة الرابعة متوسط، وتتكرر في شهادة التعليم المتوسط. وهي تربط بين التوازي والنسب بين الأطوال. تعرض الصفحة الخاصية وعكسها وتطبيقاتهما، وتنتهي بتمارين.

خاصية طالس

لتكن ⁦A⁩ و⁦B⁩ و⁦C⁩ رؤوس مثلث، ولتكن ⁦M⁩ نقطة من ⁦(AB)⁩ و⁦N⁩ نقطة من ⁦(AC)⁩.

إذا كان المستقيم ⁦(MN)⁩ يوازي المستقيم ⁦(BC)⁩ فإن: ⁦AM / AB = AN / AC = MN / BC⁩

أي أن أضلاع المثلث الصغير ⁦AMN⁩ متناسبة مع أضلاع المثلث الكبير ⁦ABC⁩.

الشكل

• ⁦M⁩ على القطعة ⁦[AB]⁩ و⁦N⁩ على القطعة ⁦[AC]⁩ (حالة المثلث).
• أو ⁦M⁩ و⁦N⁩ على امتداديهما (حالة الفراشة، ⁦A⁩ بين ⁦M⁩ و⁦B⁩، و⁦A⁩ بين ⁦N⁩ و⁦C⁩).

مثال

⁦(MN) // (BC)⁩، ⁦AM = 3⁩، ⁦AB = 9⁩، ⁦AN = 4⁩. أوجد ⁦AC⁩.

• ⁦AM / AB = AN / AC⁩ ← ⁦3 / 9 = 4 / AC⁩.
• ⁦AC = 4 × 9 / 3 = 12⁩.

حساب طول ثالث

من النسب المتساوية نحسب أي طول مجهول بـالجداء المتصالب:

⁦AM / AB = MN / BC⁩ ← ⁦MN = BC × AM / AB⁩

مثال: ⁦BC = 12⁩، ⁦AM/AB = 1/3⁩ ← ⁦MN = 12 × 1/3 = 4⁩.

خاصية طالس العكسية

إذا كانت النقاط ⁦A⁩ و⁦M⁩ و⁦B⁩ على استقامة و⁦A⁩ و⁦N⁩ و⁦C⁩ على استقامة بالترتيب نفسه وكان ⁦AM / AB = AN / AC⁩ فإن ⁦(MN) // (BC)⁩.

أي أن تساوي النسبتين يعني التوازي.

مثال: إثبات التوازي

⁦AM = 2⁩ ، ⁦AB = 6⁩ ، ⁦AN = 3⁩ ، ⁦AC = 9⁩:

• ⁦AM / AB = 2 / 6 = 1/3⁩.
• ⁦AN / AC = 3 / 9 = 1/3⁩.
• النسبتان متساويتان والنقاط بنفس الترتيب ← ⁦(MN) // (BC)⁩.

ملاحظة

إذا لم تتساو النسبتان فالمستقيمان غير متوازيين. وهذه الطريقة تستعمل أيضا لـنفي التوازي.

جدول الخلاصة

طريقة الحل

استعمال طالس

1. تحقق من وجود توازي معطى.
2. ارسم المثلثين وعين الرؤوس.
3. اكتب النسب المتساوية.
4. احسب الطول المجهول بالجداء المتصالب.

استعمال طالس العكسية

1. احسب النسبتين.
2. قارن بينهما (مع التأكد من ترتيب النقاط).
3. استنتج التوازي أو عدمه.

تطبيق: ارتفاع بناية

عمود طوله ⁦2 m⁩ يلقي ظلا طوله ⁦3 m⁩، وبناية تلقي ظلا طوله ⁦30 m⁩. ارتفاعها ⁦h⁩:

⁦h / 30 = 2 / 3⁩ ← ⁦h = 20 m⁩.

تمارين

1. ⁦AM/AB = 2/5⁩، ⁦AN = 6⁩. أوجد ⁦AC⁩ إذا ⁦(MN)//(BC)⁩. (⁦AC = 15⁩)
2. هل ⁦(MN)⁩ يوازي ⁦(BC)⁩ إذا ⁦AM = 4⁩، ⁦AB = 10⁩، ⁦AN = 6⁩، ⁦AC = 15⁩؟ (نعم)
3. ⁦MN = 5⁩ و⁦AM/AB = 1/4⁩، أوجد ⁦BC⁩. (⁦BC = 20⁩)

نصائح

• ضع الأطوال في الترتيب نفسه (الصغير على الكبير).
• ارسم المثلثين منفصلين لتوضيح التناسب.
• تحقق من ترتيب النقاط في العكسية.

أخطاء شائعة

• استعمال طالس دون توازي.
• قلب النسب (كبير على صغير في جهة وصغير على كبير في أخرى).
• نسيان شرط الترتيب في العكسية.

الشرح المصوّر

لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ سليم مختارة في فيديو «أقوى شرح لخاصية طالس وطالس العكسية مع تطبيقات للسنة الرابعة متوسط» هذا الدرس في نحو عشرين دقيقة.