لو أردت أن تقيس ارتفاع شجرة دون أن تتسلقها، فكل ما تحتاجه عصا وظلين ومعرفة بخاصية طالس. هذه الخاصية من أقدم نتائج الهندسة وأكثرها استعمالًا، وهي تربط التوازي بالتناسب بين الأطوال. وهي حاضرة في برنامجي السنة الثالثة والرابعة متوسط، ومنها تتفرع حسابات الأطوال وإثبات التوازي وتقسيم القطع. تعرض هذه الصفحة نص الخاصية، ثم عكسها، ثم الأمثلة وطرق الاستعمال، وتنتهي بأخطاء متكررة وتمارين محلولة.
نص خاصية طالس
لنأخذ مثلثًا ABC، ونقطة M من المستقيم (AB)، ونقطة N من المستقيم (AC). إذا كان المستقيمان (MN) و (BC) متوازيين فإن:
AM / AB = AN / AC = MN / BC
يعني أن أطوال الأضلاع المتقابلة متناسبة. وتصح الخاصية في وضعيتين:
- وضعية المثلث: النقطتان
MوNعلى ضلعي المثلث أو على امتدادهما من الجهة نفسها بالنسبة إلىA. - وضعية الفراشة: النقطتان
MوNفي جهتين متعاكستين بالنسبة إلىA، أي أنAتقع بينMوB، وبينNوC. تنطبق العلاقات نفسها.
وللاستعمال الصحيح ينبغي أن تُسمّي الأطوال بالترتيب الصحيح: في كل كسر يكون البسط من المثلث الصغير والمقام من المثلث الكبير، وأن يبدأ الطولان من الرأس المشترك A.
الخاصية العكسية
إذا كانت النقاط A و M و B على استقامة واحدة، والنقاط A و N و C على استقامة واحدة، وكانت النقاط مرتبة بالترتيب نفسه على المستقيمين، وكان:
AM / AB = AN / AC
فإن المستقيمين (MN) و (BC) متوازيان.
وشرط الترتيب مهم: فلا يكفي تساوي النسبتين. فإذا كانت النقطة M بين A و B وكانت N على الجهة المقابلة من A فلا يمكن تطبيق العكس.
ثلاثة استعمالات
1. حساب طول. في المثلث ABC النقطة M من [AB] و N من [AC] و (MN) يوازي (BC)، مع AB = 6 و AM = 2 و AC = 9 و BC = 12. من AM / AB = AN / AC = MN / BC نجد AN = AC × AM / AB = 9 × 2 / 6 = 3 و MN = BC × AM / AB = 12 × 2 / 6 = 4.
2. إثبات التوازي. AM = 3 و AB = 5 و AN = 4.5 و AC = 7.5 والنقاط مرتبة بالترتيب نفسه. AM / AB = 3 / 5 = 0.6 و AN / AC = 4.5 / 7.5 = 0.6، فالنسبتان متساويتان، فبحسب الخاصية العكسية (MN) // (BC).
3. إثبات عدم التوازي. AM = 2 و AB = 6 و AN = 3 و AC = 8. AM / AB = 1 / 3 و AN / AC = 3 / 8، وهما مختلفتان. لو كان (MN) // (BC) لتساوتا بحسب الخاصية المباشرة، فالمستقيمان غير متوازيين. وهنا نستعمل الخاصية المباشرة بالنفي، لا العكسية.
تطبيقات من الواقع
ارتفاع شجرة. في اللحظة نفسها تُلقي عصا طولها 1.5 m ظلًا طوله 2 m، وتُلقي شجرة ظلًا طوله 12 m. أشعة الشمس متوازية، فالمثلثان متشابهان بحسب طالس: h / 1.5 = 12 / 2 ومنه h = 1.5 × 12 / 2 = 9 m.
تقسيم قطعة. لنقسم قطعة [AB] إلى 5 أجزاء متساوية نرسم نصف مستقيم من A ونحدد عليه 5 أجزاء متساوية بالفرجار، ثم نصل آخر نقطة بالنقطة B ونرسم من كل نقطة تقسيم موازيًا لهذا المستقيم. فتقسم هذه الموازيات القطعة [AB] إلى 5 أجزاء متساوية بحسب طالس.
أخطاء شائعة
- استعمال خاصية طالس دون أن يكون هناك مستقيمان متوازيان. التوازي هو الشرط الأساسي.
- كتابة نسبة غير صحيحة، مثل
AM / MBبدلAM / AB. النسب المقبولة تأخذ الطول الكاملABأوACفي المقام. - نسيان شرط الترتيب في الخاصية العكسية.
- استعمال الخاصية العكسية لإثبات عدم التوازي. لإثبات عدم التوازي نستعمل الخاصية المباشرة ونبين أن النسبتين مختلفتان.
- الخلط بين أطوال المثلث الصغير والكبير في البسط والمقام.
- نسيان الجداء المتقاطع عند حل التناسب:
a / b = c / dتعطيa × d = b × c.
تمارين للتدرب
- في المثلث
ABCMمن[AB]وNمن[AC]و(MN) // (BC)معAM = 3وAB = 7.5وAN = 4. احسبAC، ثم احسبMNإذا كانBC = 12.5. - هل
(MN)و(BC)متوازيان إذا كانAM = 2وAB = 5وAN = 3وAC = 7.5والنقاط مرتبة بالترتيب نفسه؟ - عصا طولها
1.2 mتلقي ظلًا طوله0.8 mومبنى يلقي ظلًا طوله20 mفي اللحظة نفسها. ما ارتفاع المبنى؟ - في وضعية الفراشة
(MN) // (BC)وAB = 4وAM = 2وAC = 6. احسبAN. - هل
(MN)و(BC)متوازيان إذا كانAM = 2وAB = 6وAN = 3وAC = 8؟
الحلول:
AM / AB = AN / ACفـAC = AN × AB / AM = 4 × 7.5 / 3 = 10. وMN = BC × AM / AB = 12.5 × 3 / 7.5 = 5.2 / 5 = 0.4و3 / 7.5 = 0.4. النسبتان متساويتان والترتيب نفسه، فبحسب العكس المستقيمان متوازيان.H / 1.2 = 20 / 0.8ومنهH = 1.2 × 20 / 0.8 = 30 m.AN = AC × AM / AB = 6 × 2 / 4 = 3.2 / 6 = 1 / 3و3 / 8 ≠ 1 / 3، فالمستقيمان غير متوازيين.
الشرح المصوّر وملفات التمارين
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يشرح الأستاذ أسامة في فيديو «شرح مبسط ومفصل لخاصية طالس» الدرس في نحو إحدى وعشرين دقيقة، ويشير إلى أنه نفسه الدرس الذي درسه تلاميذ السنة الثالثة متوسط ويعاد في الرابعة، بداية من رسم مستقيمين متوازيين ومستقيمين متقاطعين يقطعانهما.
وللتدرب على تمارين حقيقية، اطلع على هذه الملفات في الموقع: