أول مرة سمعت فيها بالجذر التربيعي كانت في السنة الثالثة متوسط عند درس خاصية فيثاغورس: مثلث قائم ضلعاه 3 و 4 وطلب منك حساب الوتر، فوجدت BC² = 25 ومنه BC = 5. وفي الرابعة متوسط تتعمق في هذا الجذر وتتعلم كيف تحسب به وتبسطه وتتخلص منه في المقام. تعرض هذه الصفحة التعريف، ثم القواعد، ثم تبسيط الجذور، ثم إنطاق المقام، ثم المعادلة x² = a، وتنتهي بأخطاء متكررة وتمارين محلولة.
تعريف الجذر التربيعي
الجذر التربيعي لعدد حقيقي موجب a هو العدد الموجب الذي مربعه a، ونرمز له √a. فالعدد a يجب أن يكون موجبًا أو معدومًا، ولا جذر تربيعي لعدد سالب. وهنا نتيجتان مهمتان:
(√a)² = aمن أجلa ≥ 0.√(a²) = aمن أجلa ≥ 0، وبصفة عامة√(a²) = |a|.
أمثلة: √49 = 7 و √0 = 0 و √(0.25) = 0.5. وبعض الجذور أعداد لا يمكن كتابتها كسرًا، مثل √2 ≈ 1.414 و √3 ≈ 1.732، ونحصل على قيمتها التقريبية بالآلة الحاسبة.
المعادلة x² = a
- إذا كان
a > 0فللمعادلة حلانx = √aوx = −√a. - إذا كان
a = 0فلها حل واحد هوx = 0. - إذا كان
a < 0فلا حل لها.
فمثلًا x² = 49 حلاها 7 و −7، و x² = 17 حلاها √17 و −√17، و x² = −5 لا حل لها.
قواعد الحساب
من أجل a ≥ 0 و b ≥ 0:
- الجداء:
√(a × b) = √a × √b. - الخارج:
√(a / b) = √a / √bمعb > 0. - المربع:
(√a)² = a، وبالتالي√a × √a = a.
ولا توجد قاعدة تقسم جذر مجموع: √(a + b) لا يساوي √a + √b في الحالة العامة. مثال: √(9 + 16) = √25 = 5 بينما √9 + √16 = 3 + 4 = 7.
ومن القاعدة الأولى: √3 × √12 = √36 = 6، و (2√3)² = 4 × 3 = 12، و (√5 + 2)(√5 − 2) = 5 − 4 = 1، و (√2 + 1)² = 2 + 2√2 + 1 = 3 + 2√2.
تبسيط الجذر وإخراج العامل
لنكتب √n على الشكل a√b بأصغر b ممكن، نبحث عن أكبر مربع كامل يقسم n:
√50 = √(25 × 2) = 5√2.√18 = √(9 × 2) = 3√2.√45 = √(9 × 5) = 3√5.√72 = √(36 × 2) = 6√2.
وبالتبسيط نستطيع جمع الجذور وطرحها إذا ظهر الجذر نفسه: 3√2 + 5√2 = 8√2، و √12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3. أما الجذور المختلفة بعد التبسيط فلا يمكن جمعها: √2 + √3 تبقى كما هي.
إنطاق المقام
لا نحب أن يبقى جذر في المقام، فنزيله بضرب البسط والمقام في العدد المناسب:
- مقام جذر واحد:
1 / √2 = √2 / (√2 × √2) = √2 / 2، و6 / √3 = 6√3 / 3 = 2√3. - مقام مجموع أو فرق: نضرب في المرافق. فـ
1 / (√3 − 1): المرافق هو√3 + 1والجداء(√3 − 1)(√3 + 1) = 3 − 1 = 2، فالنتيجة(√3 + 1) / 2.
أخطاء شائعة
- كتابة
√(a + b) = √a + √b. هذه قاعدة غير صحيحة. - القول إن
√(a²) = aدائمًا. هذا صحيح إذا كانaموجبًا، وفي العموم|a|. - محاولة جمع جذور مختلفة قبل تبسيطها، أو القول إن
√2 + √3 = √5. - نسيان أن للمعادلة
x² = aحلين وليس حلًا واحدًا. - كتابة جذر عدد سالب. لا جذر تربيعي لعدد سالب.
- ترك الجذر في المقام، أو الإنطاق بضرب المقام فقط دون البسط.
- إخراج عامل ليس مربعًا كاملًا، مثل
√20 = 2√5وليس4√5.
تمارين للتدرب
- بسّط
√72. - احسب
√20 + √45 − √5. - أنطق مقام
6 / √3. - احسب
(3 − √2)(3 + √2). - حل
x² = 49وx² = 17وx² = −5.
الحلول:
√72 = √(36 × 2) = 6√2.2√5 + 3√5 − √5 = 4√5.6 / √3 = 6√3 / 3 = 2√3.9 − 2 = 7.- الأولى
x = 7أوx = −7. الثانيةx = √17أوx = −√17. الثالثة لا حل.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يشرح الأستاذ أسامة في فيديو «درس الجذور من الصفر إلى الاحتراف» الدرس في نحو ست وعشرين دقيقة، وينطلق مما درسه التلاميذ عن الجذور أول مرة في درس خاصية فيثاغورس في السنة الثالثة متوسط ثم يتدرج.
وللتدرب على تمارين حقيقية، اطلع على هذه الملفات في الموقع: