الحساب الحرفي هو الجسر بين الحساب العددي الذي تعرفه والجبر الذي تحتاجه في السنوات القادمة. وفيه ثلاث عمليات مترابطة: النشر والتبسيط والتحليل، ومعها ثلاث متطابقات شهيرة تُختصر بها حسابات كثيرة. وقد بدأت فيه في السنة الثالثة متوسط، وتعيده في الرابعة بتوسع. تعرض هذه الصفحة الأفكار من الصفر: خاصية التوزيع، ثم النشر، ثم المتطابقات الشهيرة، ثم التحليل، ثم حل المعادلات بالتحليل، وتنتهي بأخطاء متكررة وتمارين محلولة.
خاصية التوزيع
عندما يلتصق عدد أو حرف بقوس دون أي علامة بينهما فهذا يعني ضربًا: k (a + b) تعني k × (a + b). والخاصية التي تحكم ذلك:
k (a + b) = k a + k b و k (a − b) = k a − k b
وإذا مررنا من اليسار إلى اليمين سمينا العملية نشرًا، ومن اليمين إلى اليسار سميناها تحليلًا.
مثال: 3 (x + 4) = 3x + 12، و −2 (x − 5) = −2x + 10. انتبه إلى الإشارة السالبة: عند نشرها تغيّر إشارة كل حد داخل القوس.
ولنشر جداء مجموعين نضرب كل حد من الأول في كل حد من الثاني:
(a + b)(c + d) = a c + a d + b c + b d
مثال: (x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6.
المتطابقات الشهيرة
ثلاث متطابقات تُحفظ لأنها تتكرر دومًا:
(a + b)² = a² + 2ab + b²(a − b)² = a² − 2ab + b²(a + b)(a − b) = a² − b²
أمثلة نشر: (x + 3)² = x² + 6x + 9، و (2x − 1)² = 4x² − 4x + 1، و (x + 5)(x − 5) = x² − 25.
وفي كل مرة تتأكد من الحد الأوسط 2ab ومن إشارته، ومن أن مربع معامل 2x هو 4x² وليس 2x².
متطابقات في الحساب الذهني
تفيدنا المتطابقات في حسابات سريعة:
101² = (100 + 1)² = 10000 + 200 + 1 = 10201.99 × 101 = (100 − 1)(100 + 1) = 100² − 1 = 9999.47 × 53 = (50 − 3)(50 + 3) = 2500 − 9 = 2491.
التحليل
تحليل عبارة هو كتابتها على شكل جداء. وهناك ثلاث طرق متدرجة:
- العامل المشترك:
3x² − 6x = 3x (x − 2). وكذلك(x − 2)(x + 3) + (x − 2) × 4 = (x − 2)(x + 3 + 4) = (x − 2)(x + 7). - الفرق بين مربعين:
a² − b² = (a − b)(a + b). مثال:9x² − 16 = (3x − 4)(3x + 4). - المربع الكامل:
a² + 2ab + b² = (a + b)²وa² − 2ab + b² = (a − b)². مثال:x² + 10x + 25 = (x + 5)²، وx² − 6x + 9 = (x − 3)².
والاختبار الدائم للتحليل: انشر النتيجة، فإذا رجعت إلى العبارة الأصلية فتحليلك صحيح.
حل المعادلات بالتحليل
نعتمد خاصية الجداء المعدوم: جداء عددين معدوم إذا وفقط إذا كان أحدهما معدومًا. فلحل x² − 9 = 0 نحلل (x − 3)(x + 3) = 0 فنجد x = 3 أو x = −3. ولحل (x − 2)(x + 5) = 0 نجد x = 2 أو x = −5.
أخطاء شائعة
- كتابة
(a + b)² = a² + b²ونسيان الحد الأوسط2ab. - الخطأ في إشارة الحد الأوسط عند
(a − b)². - عدم نشر القوس على كل الحدود:
3 (x + 4) = 3x + 4خطأ. - الخطأ في الإشارة عند نشر
−(x − 5)، والصواب−x + 5. - كتابة
(2x)² = 2x². الصواب4x². - الخلط بين الفرق بين مربعين
a² − b²ومربع الفرق(a − b)². - ترك التحليل ناقصًا:
2x² − 8 = 2 (x² − 4)ثم يجب أن تكمل إلى2 (x − 2)(x + 2).
تمارين للتدرب
- انشر
(3x − 2)². - حلل
25x² − 49. - حلل
x² − 6x + 9. - احسب
102²بمتطابقة شهيرة. - حل
(x − 1)(x + 4) = 0ثم4x² − 25 = 0.
الحلول:
(3x)² − 2 × 3x × 2 + 2² = 9x² − 12x + 4.(5x)² − 7² = (5x − 7)(5x + 7).x² − 2 × 3 × x + 3² = (x − 3)².(100 + 2)² = 10000 + 400 + 4 = 10404.- الأولى
x = 1أوx = −4. الثانية(2x − 5)(2x + 5) = 0فـx = 5 / 2أوx = −5 / 2.
الشرح المصوّر وملفات التمارين
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، تعيد الأستاذة شيماء في فيديو «الحساب الحرفي والمتطابقات الشهيرة من الصفر» الدرس لتلاميذ الثالثة والرابعة متوسط في نحو ست وعشرين دقيقة، مبتدئة بتذكيرهم بأن عددًا يلتصق بقوس معناه ضرب العدد في القوس.
وللتدرب على تمارين حقيقية، اطلع على هذه الملفات في الموقع: