يطرح كثير من تلاميذ السنة الرابعة متوسط السؤال نفسه: لماذا لا نفهم الأشعة والانسحاب؟ والسبب في الغالب أنهم يحاولون حفظ العلاقات دون أن يروها على الرسم. وفي الواقع هذا الدرس بسيط إذا بدأت من فكرة واحدة: الانتقال من نقطة إلى نقطة يمكن تمثيله بسهم، وهذا السهم هو الشعاع. تعرض هذه الصفحة تذكيرًا برسم متوازي الأضلاع، ثم مفهوم الانسحاب والشعاع، ثم تساوي شعاعين، ثم منتصف قطعة، ثم مجموع شعاعين، وتنتهي بأخطاء متكررة وتمارين محلولة.
ملاحظة في الكتابة: نرمز للشعاع الذي أصله A ونهايته B بالرمز AB مع سهم فوقه في الكراس. وفي هذه الصفحة نكتفي بالحروف داخل الصيغ، ونذكر كلمة «الشعاع» قبلها كلما قصدنا الشعاع لا الطول.
تذكير: رسم متوازي الأضلاع
متوازي الأضلاع رباعي كل ضلعين متقابلين فيه متوازيان ومتساويان. وعندما نسمي رباعيًا ABCD فنتبع الترتيب: A ثم B ثم C ثم D حول الشكل. فإذا أعطاك الأستاذ مثلثًا ABC وطلب تعيين النقطة D بحيث يكون ABCD متوازي أضلاع، فالنقطة D هي الرأس المقابل للرأس B. وطريقة الرسم أن ترسم من A مستقيمًا يوازي (BC) ومن C مستقيمًا يوازي (AB)، فيتقاطعان في D.
ما الشعاع؟
الشعاع يحدده ثلاثة عناصر:
- الحامل (الاتجاه): المستقيم الذي يحمله السهم.
- المنحى: جهة السهم على هذا المستقيم.
- الطول: المسافة بين أصل الشعاع ونهايته.
الشعاع AB أصله A ونهايته B، والشعاع BA له الحامل والطول نفسهما لكن منحاه معاكس، ولذلك نسميه الشعاع المعاكس له.
الانسحاب
الانسحاب هو تحويل ينقل كل نقطة من المستوي بالطريقة نفسها: الاتجاه والمنحى والطول. فالانسحاب الذي يحول A إلى B هو الذي يحول كل نقطة M إلى نقطة M' بحيث يكون ABM'M متوازي أضلاع. ويسمى الشعاع AB شعاع الانسحاب.
وللانسحاب خواص مهمة: يحفظ الأطوال والزوايا والتوازي، فصورة مستقيم هي مستقيم يوازيه، وصورة قطعة هي قطعة لها الطول نفسه، وصورة دائرة هي دائرة لها نصف القطر نفسه.
تساوي شعاعين
يكون الشعاعان متساويين إذا اشتركا في الاتجاه والمنحى والطول معًا. ويكفي أن تتذكر هذه القاعدة:
- الرباعي
ABCDمتوازي أضلاع إذا وفقط إذا كانAB = DC(بالأشعة).
والانتباه الشديد لترتيب الحروف: في AB = DC نبدأ كل شعاع بأصله، فأصل الأول A وأصل الثاني D، ونهاية الأول B ونهاية الثاني C. فإذا قلت AB = CD فأنت تقول شيئًا مختلفًا، لأن CD معاكس لـ DC.
منتصف قطعة
النقطة I منتصف القطعة [AB] إذا وفقط إذا كان AI = IB (بالأشعة). وهذه القاعدة تفيد في البرهان، فإذا علمنا أن I منتصف [AB] نكتب مباشرة هذا التساوي ونستعمله.
مجموع شعاعين
علاقة شال
لجمع شعاعين متتاليين، نهاية الأول هي أصل الثاني، نكتب:
AB + BC = AC
ومعناها: الانتقال من A إلى B ثم من B إلى C يساوي الانتقال المباشر من A إلى C. فنحذف النقطة المشتركة B.
أمثلة:
AB + BC = ACMN + NP = MPAB + BA = AA = 0، وهو الشعاع المعدوم (أصله ونهايته نقطة واحدة).
طريقة متوازي الأضلاع
إذا كان للشعاعين الأصل نفسه، AB وAD مثلًا، فمجموعهما قطر متوازي الأضلاع المنشأ عليهما:
AB + AD = AC
حيث ABCD متوازي أضلاع. ونرسم المجموع بإكمال متوازي الأضلاع ثم نصل A بالرأس المقابل C.
مثال محلول
لتكن النقاط A وB وC رؤوس مثلث، وD النقطة التي تجعل ABCD متوازي أضلاع، وI منتصف [AC].
- ما الشعاع المساوي للشعاع
AB؟ الجواب:DCلأنABCDمتوازي أضلاع. - اكتب
AB + BCبشعاع واحد. الجواب:AC(علاقة شال). - بيّن أن
Iمنتصف[BD]أيضًا. الجواب: في متوازي الأضلاع قطراه ينصف كل منهما الآخر، فنقطة تقاطعهماIمنتصف كل من[AC]و[BD].
أخطاء شائعة
- الخلط بين طول القطعة
ABوالشعاعAB: الأول عدد موجب والثاني له اتجاه ومنحى. - كتابة
AB = CDبدلAB = DCعند الحديث عن متوازي الأضلاعABCD. - جمع شعاعين دون تتابعهما: لا تُطبَّق علاقة شال إلا إذا كانت نهاية الأول أصل الثاني.
- الاعتقاد أن شعاعين متساويين الطول متساويان دائمًا، وهما يلزمهما اتجاه ومنحى متماثلان أيضًا.
- نسيان أن
AB + BAيساوي الشعاع المعدوم وليس عددًا.
تمارين للتدرب
- اكتب بشعاع واحد:
AB + BC + CD. - إذا كان
ABCDمتوازي أضلاع، فما الشعاع المساوي لـAD؟ - عيّن النقطة
MصورةAبالانسحاب الذي شعاعهBC. - إذا كان
Iمنتصف[AB]فاكتب علاقة بينAIوIB. - اكتب بشعاع واحد:
MN + NP + PM.
الحلول:
AD(بتطبيق علاقة شال مرتين).BC.Mهي النقطة التي تجعلAM = BC، أي أنABCMمتوازي أضلاع.AI = IB.MN + NP + PM = MM = 0، أي الشعاع المعدوم.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يشرح الأستاذ أسامة في فيديو «شرح مبسط وشامل لدرس الأشعة والانسحاب السنة 4 متوسط» من قناة دار الرياضيات الدرس في نحو اثنتين وعشرين دقيقة، مبتدئًا بتذكير برسم متوازي الأضلاع من السنتين الثانية والثالثة، ثم مفهوم الانسحاب وتساوي شعاعين ومنتصف قطعة ومجموع شعاعين.
وللتدرب على تمارين محلولة، اطلع على هذه الملفات في الموقع: