درس طرق تعيين القاسم المشترك الأكبر (PGCD) مهم جدا لتلاميذ السنة الرابعة متوسط. ويعرض ثلاث طرق مع أمثلة. وينصح بإحضار آلة حاسبة والتطبيق خطوة بخطوة. تعرض الصفحة الطرق الثلاث، وتنتهي بجدول ومقارنة وتمارين.
الطريقة الأولى: سرد القواسم
نكتب قواسم كل من العددين ونأخذ أكبر قاسم مشترك بينهما. مثال: قواسم 16 هي 1، 2، 4، 8، 16، وقواسم 20 هي 1، 2، 4، 5، 10، 20. القواسم المشتركة: 1، 2، 4، وأكبرها 4. نكتب:
PGCD(16 ; 20) = 4
وهذه الطريقة لفهم المعنى فقط، ولا تصلح للأعداد الكبيرة.
الطريقة الثانية: الطرح المتتالي
مثال: عين PGCD(126 ; 81). نأخذ العدد الأكبر ونطرح منه الأصغر، ثم نتابع بأخذ أكبر عددين من الباقي والمطروح كل مرة:
| الخطوة | العملية | الناتج |
|---|---|---|
| 1 | 126 - 81 |
45 |
| 2 | 81 - 45 |
36 |
| 3 | 45 - 36 |
9 |
| 4 | 36 - 9 |
27 |
| 5 | 27 - 9 |
18 |
| 6 | 18 - 9 |
9 |
| 7 | 9 - 9 |
0 |
وعندما نصل إلى ناتج معدوم (الصفر) فالقاسم المشترك الأكبر هو آخر ناتج غير معدوم قبله، وهو 9.
PGCD(126 ; 81) = 9
الطريقة الثالثة: القسمات المتتالية (خوارزمية إقليدس)
نتذكر أن القسمة الإقليدية تكتب مساواة: 22 = 3 × 7 + 1 (المقسوم يساوي القاسم في حاصل القسمة زائد الباقي).
لعين PGCD(126 ; 81):
126 = 81 × 1 + 4581 = 45 × 1 + 3645 = 36 × 1 + 936 = 9 × 4 + 0
آخر باق غير معدوم هو 9، فـPGCD(126 ; 81) = 9. وهي أسرع طريقة، لأنها تحتاج أربع خطوات فقط بدل سبع.
ملاحظة عامة
القاسم المشترك الأكبر بين عددين لا يتغير مهما اتبعنا من طرق. ويستعمل لاختزال الكسور، وللتحقق من أن عددين أوليان فيما بينهما (إذا كان PGCD يساوي 1).
مقارنة الطرق
| الطريقة | مناسبة للأعداد | سرعتها |
|---|---|---|
| سرد القواسم | الصغيرة | بطيئة |
| الطرح المتتالي | المتوسطة | متوسطة |
| القسمات المتتالية | الكبيرة | سريعة |
تمارين
- عين PGCD(48 ; 36) بسرد القواسم. (12)
- عين PGCD(84 ; 60) بالطرح المتتالي. (12)
- عين PGCD(252 ; 108) بالقسمات المتتالية. (36)
نصائح
- اختر الطريقة بحسب حجم العددين.
- اكتب كل خطوة من الخطوات.
- لا تأخذ الصفر قاسما مشتركا.
أخطاء شائعة
- أخذ الناتج المعدوم نتيجة.
- طرح العدد الأصغر من الأكبر بترتيب مقلوب.
- التوقف قبل الباقي المعدوم.
أسئلة يطرحها الأولياء
س: كم من الوقت أخصص لمراجعة هذا الدرس؟ ج: عشرون دقيقة يوميًا لمدة ثلاثة أيام تكفي، مع تمرينين في اليوم الرابع للتأكد من الفهم.
س: ابني يعرف الدرس لكنه يخطئ في الاختبار، لماذا؟ ج: غالبًا بسبب التسرع أو عدم قراءة التعليمة جيدًا. درّبه على قراءة السؤال مرتين وتسطير الكلمات المهمة قبل الإجابة، وعلى مراجعة الجواب في آخر الحصة.
س: هل أعتمد على الكتب الخارجية؟ ج: يمكن الاستعانة بها بعد إتقان الكتاب المدرسي، والأهم أن يفهم الطفل لا أن يحل أكبر عدد من التمارين.
كيف أتحقق من أن الدرس قد فهم؟
اطلب من ابنك أن يشرح الدرس لك أو لأخيه الأصغر بكلماته، وأن يعطي مثالًا من عنده، وأن يحل تمرينًا لم يره من قبل. فإذا استطاع ذلك فقد فهم، وإن تردد فعد معه إلى الأمثلة الملموسة ثم أعد التجربة.
الشرح المصوّر
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يقدم الأستاذ نصر رابح في فيديو «الدرس الثالث: طرق تعيين القاسم المشترك الأكبر PGCD الرابعة متوسط» هذا الدرس في نحو ثلاث وعشرين دقيقة.