الأعداد النسبية من أهم الدروس التي تدرسها في الطور المتوسط، ومع أن السنة الأولى لا تتعمق فيها كثيرًا فهي مدخل إلى كل ما يأتي بعدها: المعادلات والجبر والإحداثيات والدوال. وأنت تسمع بها دون أن تدري: «درجة الحرارة ناقص اثنين»، «الغواصة على عمق مئة متر»، «الدين ألف دينار». تعرض هذه الصفحة معنى العدد النسبي من أمثلة حياتية، ثم المستقيم المدرج وكيف نعلّم عليه نقطة، ثم العددين المتعاكسين، ثم المقارنة والترتيب، وتنتهي بأخطاء متكررة وتمارين محلولة.
ما هي الأعداد النسبية؟
العدد النسبي عدد له إشارة: موجب أو سالب أو معدوم، ونرمز للموجب بإشارة + وللسالب بإشارة −. وتحتاج إلى الأعداد السالبة حين تكون الأعداد الطبيعية غير كافية للتعبير عن وضعية ما:
- درجة الحرارة:
−2 °Cتعني درجتين تحت الصفر. - الارتفاع: عمق غواصة
−100 mمعناه 100 متر تحت سطح البحر، وارتفاع جبل+800 mفوقه. - الحسابات المالية: رصيد
+500 DAودين−500 DA. - الطوابق: طابق تحت الأرض
−1وطابق أرضي0وطابق أول+1.
وتسمى مجموعة الأعداد الطبيعية وأضدادها السالبة مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية، ونرمز لها بـ ℤ: … ; −3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …. والعدد 0 ليس موجبًا ولا سالبًا.
المستقيم المدرج
المستقيم المدرج مستقيم نحدد عليه:
- نقطة الأصل
Oوهي نقطة العدد 0. - وحدة طول نكررها بانتظام على جانبي الأصل.
- جهة موجبة هي عادة جهة اليمين، فتكون الأعداد الموجبة على اليمين والسالبة على اليسار.
الفاصلة هي العدد الذي يرتبط بكل نقطة. مثال: النقطة A على بعد 3 وحدات إلى يسار O فاصلتها −3 ونكتب A(−3). والنقطة B على بعد 2 وحدة إلى يمين O فاصلتها +2 ونكتب B(2). وعدد واحد لكل نقطة، ونقطة واحدة لكل عدد.
العددان المتعاكسان
العددان −3 و +3 متعاكسان: لهما القيمة نفسها وإشارتان مختلفتان، وهما نقطتان متناظرتان بالنسبة إلى نقطة الأصل O. فمتعاكس −4 هو 4، ومتعاكس 7 هو −7، ومتعاكس 0 هو 0.
المسافة
المسافة إلى الصفر لعدد هي المسافة بين نقطته ونقطة الأصل، وهي عدد موجب دائمًا. فالعددان المتعاكسان لهما المسافة نفسها إلى الصفر: 3 لكل من −3 و +3. والمسافة بين نقطتين A(−3) و B(2) على المستقيم المدرج هي 3 + 2 = 5.
المقارنة والترتيب
على المستقيم المدرج الموجه نحو اليمين: كلما تحركنا نحو اليمين كبر العدد.
- كل عدد موجب أكبر من كل عدد سالب، والصفر بينهما:
−5 < 0 < 3. - عددان موجبان: الأكبر هو الذي مسافته إلى الصفر أكبر.
- عددان سالبان: الأكبر هو الذي مسافته إلى الصفر أصغر. فـ
−2 > −8لأن−2أقرب إلى الصفر.
وترتيب الأعداد −7 ; 6 ; −3 ; 0 ; 2 تصاعديًا: −7 < −3 < 0 < 2 < 6.
مثال من الحياة. إذا كانت درجة الحرارة صباحًا −3 °C وبلغت ظهرًا 5 °C فقد ارتفعت 8 درجات (المسافة 3 + 5). وفي أي المدينتين الجو أبرد: −8 °C أم −2 °C؟ الأبرد هي ذات −8 °C لأن −8 < −2.
أخطاء شائعة
- القول إن
−5 > −2لأن 5 أكبر من 2. بين العددين السالبين الأكبر هو الأقرب إلى الصفر. - اعتبار الصفر عددًا موجبًا أو سالبًا.
- كتابة فاصلة نقطة على اليسار دون الإشارة السالبة.
- عدم التقيد بالوحدة المتساوية على المستقيم المدرج، فتخطئ المسافات.
- حساب المسافة بين
−3و2بالطرح بالعكس أو بالقول إنها 1. المسافة بين نقطتين على جانبي الصفر مجموع مسافتيهما إلى الصفر. - الخلط بين المتعاكسين (
3و−3) والمقلوبين (3و1 / 3).
تمارين للتدرب
- عبّر بعدد نسبي: عمق
250متر تحت سطح البحر، ودرجة حرارة4درجات تحت الصفر، ورصيد1200 DA. - اكتب فاصلتي نقطتين:
Pعلى بعد 5 وحدات يمينO، وQعلى بعد 4 وحدات يسارO. - ما متعاكس
−9؟ وما متعاكس12؟ - قارن
−8و−3، ثم رتب5و−1و−6و0تصاعديًا. - ما المسافة بين
A(−4)وB(3)على المستقيم المدرج؟
الحلول:
−250 mو−4 °Cو+1200 DA.P(5)وQ(−4).- متعاكس
−9هو9، ومتعاكس12هو−12. −8 < −3لأن−3أقرب إلى الصفر. والترتيب−6 < −1 < 0 < 5.- المسافة
4 + 3 = 7وحدات.
الشرح المصوّر وملفات التمارين
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يشرح الأستاذ دقيش علي في فيديو «الأعداد النسبية والتعليم على المستقيم المدرج، السنة الأولى متوسط» المقطع في نحو خمس وثلاثين دقيقة، مبتدئًا بما معنى الأعداد النسبية من أمثلة نشرة الأحوال الجوية (درجة الحرارة ناقص اثنين).
وللتدرب على تمارين حقيقية، اطلع على هذه الملفات في الموقع: