من أول ما تتعلمه في الرياضيات بعد أن تعرف الأعداد هو القسمة، وتبدأ في السنة الأولى متوسط بوجهها الدقيق: القسمة الإقليدية. يخطئ كثير من التلاميذ فيسمونها «التقليدية» وهذا خطأ، فاسمها الصحيح الإقليدية نسبة إلى العالم الإغريقي إقليدس. وتشمل هذه الدروس عادة ثلاثة أمور مرتبطة: القسمة الإقليدية، والقسمة العشرية، والقيم المقربة بالزيادة وبالنقصان والمدورة إلى الوحدة. تعرض هذه الصفحة هذه الأمور بالترتيب ثم قواعد قابلية القسمة، وتنتهي بأخطاء متكررة وتمارين محلولة.
القسمة الإقليدية
لنقسم عددًا طبيعيًا a (المقسوم) على عدد طبيعي غير معدوم b (القاسم). نبحث عن عددين طبيعيين: q (الحاصل) و r (الباقي) بحيث:
a = b × q + r مع 0 ≤ r < b
والشرط الأخير أهم ما فيها: الباقي دائمًا أصغر من القاسم. فلو وجدت باقيًا أكبر من القاسم أو يساويه فالقسمة لم تنتهِ بعد.
مثال. قسمة 73 على 5: نبحث عن أكبر مضاعف للعدد 5 لا يتجاوز 73، وهو 70 = 5 × 14. إذن الحاصل q = 14 والباقي r = 73 − 70 = 3. ونكتب 73 = 5 × 14 + 3. وتحقق: 3 < 5 والعلاقة صحيحة.
ولهذه القسمة معنى عملي: إذا وزعنا 73 قلمًا على 5 تلاميذ بالتساوي أخذ كل واحد 14 قلمًا وبقيت 3 أقلام.
متى تكون القسمة تامة؟
إذا كان الباقي معدومًا r = 0 قلنا إن a قابل للقسمة على b، أو إن b قاسم للعدد a، وإن a مضاعف للعدد b. مثال: 72 = 8 × 9 فـ 72 قابل للقسمة على 8 وعلى 9.
قواعد قابلية القسمة
نعرف أن عددًا قابل للقسمة دون أن نجري القسمة بهذه القواعد:
- على 2: إذا كان رقم آحاده زوجيًا (0 أو 2 أو 4 أو 6 أو 8).
- على 5: إذا انتهى بـ 0 أو 5.
- على 10: إذا انتهى بـ 0.
- على 3: إذا كان مجموع أرقامه قابلًا للقسمة على 3. مثال:
2 7 6مجموعها15فهو قابل للقسمة على 3. - على 9: إذا كان مجموع أرقامه قابلًا للقسمة على 9. مثال:
4 8 6مجموعها18فهو قابل للقسمة على 9.
القسمة العشرية
في القسمة العشرية نواصل القسمة بعد الفاصلة بإضافة أصفار على يمين الباقي، فنتوقف حين يصير الباقي معدومًا أو حين نبلغ الدقة المطلوبة.
7 ÷ 4 = 1.75: نقسم 7 على 4 فنجد 1 والباقي 3، ثم نضع فاصلة ونضيف صفرًا فنقسم 30 على 4 فنجد 7 والباقي 2، ثم نضيف صفرًا فنقسم 20 على 4 فنجد 5.3 ÷ 8 = 0.375.1 ÷ 3 = 0.333…لا تنتهي، فنكتفي بقيمة مقربة.
القيم المقربة
حين لا تنتهي القسمة نحتاج إلى قيمة مقربة:
- القيمة المقربة بالنقصان إلى مرتبة معينة هي أكبر عدد من هذه المرتبة لا يتجاوز العدد.
- القيمة المقربة بالزيادة هي أصغر عدد من هذه المرتبة لا يقل عن العدد.
- القيمة المدورة هي أقرب القيمتين إلى العدد: إذا كان الرقم الذي يلي مرتبة التدوير 5 أو أكبر ندور بالزيادة، وإلا بالنقصان.
مثال: العدد 3.472.
- إلى الوحدة: بالنقصان
3وبالزيادة4، والمدورة3. - إلى الجزء من عشرة: بالنقصان
3.4وبالزيادة3.5، والمدورة3.5لأن الرقم الذي يليه 7. - إلى الجزء من مئة: بالنقصان
3.47وبالزيادة3.48، والمدورة3.47.
أخطاء شائعة
- كتابة باقٍ أكبر من القاسم أو يساويه.
- نسيان أن المقسوم يساوي
القاسم × الحاصل + الباقي، والتحقق بها مفيد دائمًا. - تسمية القسمة «التقليدية». الصحيح الإقليدية.
- نسيان وضع الفاصلة في الحاصل عند الانتقال إلى القسمة العشرية.
- الخلط بين القيمة المقربة بالنقصان والمدورة. المدورة قد تكون بالزيادة.
- الخطأ في قاعدة القابلية للقسمة على 3 و 9: نجمع الأرقام ولا نكتفي بالنظر إلى الآحاد.
تمارين للتدرب
- أجرِ القسمة الإقليدية للعدد
158على12. - أنجز القسمة العشرية
9 ÷ 4. - هل العدد
4 860قابل للقسمة على 2 وعلى 3 وعلى 5 وعلى 9؟ - أعط القيمة المقربة بالنقصان وبالزيادة والمدورة للعدد
5.368إلى الجزء من مئة. - أوجد العدد
aإذا كان حاصل قسمته على 7 هو 12 والباقي 4.
الحلول:
12 × 13 = 156فالحاصل 13 والباقي158 − 156 = 2، أي158 = 12 × 13 + 2.9 ÷ 4 = 2.25.- آحاده 0: قابل للقسمة على 2 وعلى 5. مجموع أرقامه
4 + 8 + 6 + 0 = 18: قابل للقسمة على 3 وعلى 9. - بالنقصان
5.36، وبالزيادة5.37، والمدورة5.37لأن الرقم الذي يلي مرتبة الجزء من مئة هو 8. a = 7 × 12 + 4 = 88.
الشرح المصوّر وملفات التمارين
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يشرح الأستاذ أسامة في فيديو «القسمة الإقليدية والقسمة العشرية والقيم المقربة، السنة الأولى متوسط» الدرس الأول من الفصل الثاني في نحو ثلاث وعشرين دقيقة، منبّهًا إلى الاسم الصحيح للقسمة الإقليدية، ومعتمدًا مثال قسمة 73 على 5.
وللتدرب على تمارين حقيقية، اطلع على هذه الملفات في الموقع: