حل الاختبار الاستدراكي في الرياضيات للسنة الأولى متوسط: القسمة وقابلية القسمة والمجهول والكسور والنسبة المئوية

الاختبار الاستدراكي فرصة ثانية لتلميذ السنة الأولى متوسط لتحسين علامته في الرياضيات، ولا يخرج عادة عن أفكار الفصول السابقة: القسمة، وقابلية القسمة، والمعادلات البسيطة، والكسور، والمستقيم المدرج، والنسبة المئوية. وتعرض الصفحة حلا نموذجيا مفصلا لنموذج متكامل من أربعة تمارين، مع القاعدة المستعملة في كل سؤال ليتمكن التلميذ من تطبيقها على أي نموذج مماثل.

التمرين الأول: القسمة وقابلية القسمة

1. أوجد حاصل وباقي قسمة ⁦752⁩ على ⁦65⁩

نجري القسمة خطوة بخطوة:

1. ⁦75 ÷ 65⁩: يحتوي ⁦75⁩ على ⁦65⁩ مرة واحدة، فنكتب ⁦1⁩، ونطرح ⁦75 - 65 = 10⁩.
2. ننزل الرقم التالي ⁦2⁩ فنحصل على ⁦102⁩.
3. ⁦102 ÷ 65⁩: مرة واحدة أيضا، ونطرح ⁦102 - 65 = 37⁩.

الحاصل: ⁦11⁩. الباقي: ⁦37⁩.

التحقق (قاعدة القسمة الإقليدية: المقسوم يساوي حاصل ضرب المقسوم عليه في الحاصل مضافا إليه الباقي):

⁦65 × 11 + 37 = 715 + 37 = 752⁩. صحيح.

2. قواعد قابلية القسمة

التطبيق:

• ⁦147⁩ يقبل القسمة على ⁦3⁩ لأن ⁦1 + 4 + 7 = 12⁩ وهو من مضاعفات ⁦3⁩.
• ⁦752⁩ يقبل القسمة على ⁦4⁩ لأن ⁦52⁩ من مضاعفات ⁦4⁩ (⁦52 = 4 × 13⁩).
• عدد ينتهي بالرقم ⁦5⁩ أو ⁦0⁩ يقبل القسمة على ⁦5⁩ (طابق العدد الثالث في موضوعك بهذه القاعدة).

انتبه: قد يقبل العدد الواحد القسمة على أكثر من عدد. فمثلا العدد ⁦752⁩ زوجي ويقبل القسمة على ⁦4⁩ كما رأينا، لكنه لا يقبل القسمة على ⁦3⁩ لأن ⁦7 + 5 + 2 = 14⁩.

التمرين الثاني: المجهول والكسور

1. أوجد قيمة ⁦x⁩ مع التعليل

أ. ⁦14x = 7⁩

الجداء مجهول أحد عامليه، نقسم الجداء على العامل المعلوم: ⁦x = 7 ÷ 14 = 0.5⁩.

ب. ⁦x - 14 = 25⁩

في الطرح المجهول هو المطروح منه، فنجمع: ⁦x = 25 + 14 = 39⁩.

جـ. ⁦79.8 + x = 100⁩

في الجمع نطرح المعلوم من المجموع: ⁦x = 100 - 79.8 = 20.2⁩.

القاعدة الذهبية: ننقل المعلومات إلى جهة والمجهول إلى جهة، وعند نقل عدد من طرف إلى آخر نغير العملية إلى عكسها (الجمع إلى طرح والعكس، والضرب إلى قسمة والعكس).

2. احسب واختزل إن أمكن

⁦A = 7/10 × 5/3⁩

في ضرب الكسور نضرب البسط في البسط والمقام في المقام: ⁦A = 35/30⁩. القاسم المشترك ⁦5⁩: ⁦A = 7/6⁩.

⁦B = 23/100 + 28/100⁩

للكسرين المقام نفسه، نجمع البسطين: ⁦B = 51/100⁩. لا يختزل لأنه لا قاسم مشتركا لـ⁦51⁩ و⁦100⁩.

⁦C = 8/10 - 11/100⁩

نوحد المقامين على ⁦100⁩: ⁦8/10 = 80/100⁩. إذن ⁦C = 80/100 - 11/100 = 69/100⁩. لا يختزل.

التمرين الثالث: المستقيم المدرج

1. علّم النقط ⁦A(+5)⁩ و⁦B(-3)⁩ و⁦C(-5)⁩

• النقطة الموجبة ⁦A⁩ على يمين الصفر، بعد خمس تدريجات.
• النقطتان ⁦B⁩ و⁦C⁩ سالبتان فهما على يسار الصفر، بعد ثلاث وخمس تدريجات.

2. عين النقطة ⁦N⁩ منتصف القطعة ⁦[AB]⁩

المسافة بين ⁦A⁩ و⁦B⁩ هي ⁦5 - (-3) = 8⁩ وحدات. نصفها ⁦4⁩. فنتقدم أربع تدريجات من ⁦B⁩ نحو اليمين: ⁦-3 + 4 = 1⁩.

3. ما فاصلة النقطة ⁦N⁩؟

⁦+1⁩. وللتحقق: فاصلة المنتصف هي متوسط الفاصلتين ⁦(5 + (-3)) ÷ 2 = 1⁩.

4. ما معاكسا العددين ⁦4⁩ و⁦-2⁩؟

• معاكس ⁦4⁩ هو ⁦-4⁩.
• معاكس ⁦-2⁩ هو ⁦2⁩.

المعاكس لعدد هو العدد الذي له القيمة المطلقة نفسها والإشارة المعاكسة، ومجموعهما ⁦0⁩.

التمرين الرابع: خزان ماء والنسبة المئوية

المعطيات: خزان مملوء سعته ⁦1200 L⁩. استعملنا في اليوم الأول ⁦40%⁩ من محتواه وفي اليوم الثاني ⁦180 L⁩.

1. الكمية المستعملة في اليوم الأول

⁦40%⁩ من ⁦1200⁩ هي ⁦1200 × 40/100 = 12 × 40 = 480 L⁩.

2. الكمية المستعملة في اليومين

⁦480 + 180 = 660 L⁩.

3. الكمية المتبقية في الخزان

⁦1200 - 660 = 540 L⁩.

4. عبر بكسر عن الكمية المتبقية

الكسر: ⁦540/1200⁩. نختصر بـ⁦10⁩ ثم بـ⁦6⁩:

⁦540/1200 = 54/120 = 9/20⁩.

وهذا يعني أن ⁦9⁩ أجزاء من كل ⁦20⁩ بقيت في الخزان (أي ⁦45%⁩ من الخزان).

ملخص طرق الحل

أخطاء شائعة

• نسيان التحقق من القسمة بالضرب والجمع.
• الخلط بين قاعدتي القسمة على ⁦3⁩ و⁦4⁩.
• جمع المقامين عند جمع كسرين.
• حساب المنتصف بقسمة الفاصلة الكبيرة على ⁦2⁩ فقط.
• حساب ⁦40%⁩ على أنها ⁦40 ÷ 1200⁩.
• نسيان وحدة ⁦L⁩ في الجواب.

نصائح للتلميذ

• اكتب كل خطوة في سطر.
• تحقق من الأعداد بالتقريب.
• راجع عند الانتهاء كل جواب كتبته.

الشرح المصوّر

لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، تقدم قناة معلمتي الذكية فيديو «الاختبار الاستدراكي في الرياضيات للسنة الأولى متوسط: الحل النموذجي الكامل خطوة بخطوة» هذا الحل.