بعد أن درست المكثفة في ثنائي القطب RC، تنتقل إلى عنصر آخر يخزن الطاقة بطريقة مختلفة: الوشيعة. وقد ترى أن الدرسين متشابهان، فالمعادلات تتخذ الشكل نفسه ويظهر ثابت زمن في كل منهما، لكن الفرق في المقدار الذي لا يتغير فجأة: في المكثفة هو التوتر بين طرفيها، وفي الوشيعة هو شدة التيار. تشرح هذه الصفحة الوشيعة وتوترها، ثم ثنائي القطب RL وتطور شدة التيار فيه عند غلق القاطعة وعند فتحها، ثم ثابت الزمن وطاقة الوشيعة، وتنتهي بأخطاء متكررة وتمارين محلولة.
الوشيعة
الوشيعة سلك ناقل ملفوف حلقات عديدة. تتميز بمقدارين:
- التحريضية
Lوتقاس بالهنريH. وهي تعبر عن مدى «معاندة» الوشيعة لتغير شدة التيار المار فيها. - المقاومة الداخلية
rوتقاس بالأومΩ، وهي مقاومة سلك الوشيعة نفسه.
التوتر بين طرفي وشيعة (باصطلاح المستقبلات، أي أن جهتي التوتر والتيار متوافقتان) هو:
u_b = L × di/dt + r × i
الحد الأول L di/dt يظهر فقط حين تتغير الشدة، والحد الثاني r i هو الجزء المقاوم. وإذا كانت r مهملة قلنا وشيعة مثالية: u_L = L di/dt.
والنتيجة المهمة أن شدة التيار في الوشيعة دالة مستمرة، فلا تقفز من قيمة إلى أخرى لحظيًا. وهذا ما يجعلها تتأخر في الارتفاع عند غلق القاطعة وتتأخر في الزوال عند فتحها.
ثنائي القطب RL
ثنائي القطب RL دارة فيها وشيعة (L ; r) وناقل أومي مقاومته R موصولان على التسلسل، يغذيهما مولد توتره ثابت E. ولدراسة تطور شدة التيار نربط راسم اهتزاز مهبطي بطرفي الناقل الأومي، لأن التوتر بين طرفيه u_R = R × i يتناسب مع الشدة فنرى منحنى i(t) بدلالة u_R. وننتبه لجهة التوصيل بحيث تكون الكتلة المشتركة في مدخل راسم الاهتزاز موافقة لجهة التوتر.
غلق القاطعة
عند اللحظة t = 0 نغلق القاطعة والشدة معدومة. قانون جمع التوترات يعطي:
E = (R + r) × i + L × di/dt
أي المعادلة التفاضلية di/dt + ((R + r) / L) × i = E / L. وحلها:
i(t) = I₀ × (1 − e^(−t/τ)) مع I₀ = E / (R + r) و τ = L / (R + r)
للتحقق: نشتق فنجد di/dt = (I₀ / τ) e^(−t/τ)، ونعوّض في المعادلة، فيتبقى (R + r) I₀ = E، وهو المطلوب لأن L / τ = R + r.
وهكذا تنمو الشدة من الصفر نحو القيمة الحدية I₀. وفي النظام الدائم تتوقف الشدة عن التغير di/dt = 0، فتتصرف الوشيعة كناقل أومي مقاومته r، ويصير التوتر بين طرفيها u_L = r × I₀.
ثابت الزمن
ثابت الزمن لثنائي القطب RL هو τ = L / (R + r). لاحظ أنه يستعمل المقاومة الكلية للدارة وليس R وحدها. ويتحقق من الوحدة بالتحليل البعدي: من العلاقة u = L di/dt تكون وحدة L هي V × s / A، ومن قانون أوم وحدة R هي V / A، فخارج القسمة L / R وحدته الثانية.
ولثابت الزمن دلالات بيانية وعددية:
- المماس لمنحنى
i(t)عندt = 0يقطع المقارب الأفقيi = I₀عندt = τ. - عند
t = τتبلغ الشدة نحو 63% من قيمتها الحدية:i(τ) = I₀ (1 − e^(−1)) ≈ 0.63 I₀. - بعد
5τتقترب الشدة من 99% من القيمة الحدية، فنعتبر النظام الدائم قد استقر. - كلما كبرت
Lطال زمن الاستجابة، وكلما كبرت المقاومة الكلية قصر.
فتح الدارة
إذا فصلنا المولد وأبقينا الوشيعة في حلقة مغلقة مع ناقل أومي، فإن الشدة لا تنعدم لحظيًا بل تتناقص أسيًا من قيمتها I₀: i(t) = I₀ × e^(−t/τ') حيث τ' = L / R' و R' هي المقاومة الكلية للحلقة المغلقة، وهي التي تحدد τ'. والوشيعة هنا تلعب دور مولد يعيد الطاقة التي خزنتها.
طاقة الوشيعة
تخزن الوشيعة التي تمر فيها الشدة i طاقة مغناطيسية قيمتها:
E_L = (1 / 2) × L × i²
وتبلغ قيمتها العظمى (1 / 2) L I₀² في النظام الدائم. والطاقة بوحدة الجول J عندما تكون L بالهنري و i بالأمبير.
مثال محلول
مولد E = 12 V وناقل أومي R = 40 Ω ووشيعة L = 0.5 H و r = 10 Ω.
- الشدة الحدية:
I₀ = E / (R + r) = 12 / 50 = 0.24 A. - ثابت الزمن:
τ = L / (R + r) = 0.5 / 50 = 0.01 s، أي10 ms. - الشدة عند
t = τ:i(τ) ≈ 0.63 × 0.24 ≈ 0.15 A. - التوتر بين طرفي الوشيعة في النظام الدائم:
u_L = r × I₀ = 10 × 0.24 = 2.4 V. - الطاقة الأعظمية:
E_L = (1 / 2) × 0.5 × 0.24² = 0.0144 J.
أخطاء شائعة
- كتابة
τ = R × Cلثنائي القطبRL. الصحيحτ = L / (R + r)، والضرب خاص بثنائي القطبRC. - نسيان المقاومة الداخلية
rللوشيعة في حسابτوفيI₀. - الاعتقاد أن الشدة تبلغ قيمتها الحدية فورًا عند غلق القاطعة. الشدة مستمرة وتنمو أسيًا.
- كتابة التوتر بين طرفي الوشيعة
u_L = L di/dtدون الحدr iإذا كانتrغير مهملة. - الخطأ في تحويل الوحدات:
mHتعني10⁻³ H، وmsتعني10⁻³ s. - الخلط بين المقدار المستمر في كل دارة: التوتر في
RC، والشدة فيRL.
تمارين للتدرب
- وشيعة تحريضيتها
L = 200 mH، والمقاومة الكلية للدارة50 Ω. احسبτ. - مولد
E = 6 Vومقاومة كلية30 Ω. احسب الشدة الحدية. - احسب طاقة وشيعة
L = 0.2 Hتمر فيها شدة0.5 A. - في النظام الدائم لدارة فيها وشيعة مقاومتها
r = 5 Ωتمر فيها شدة0.4 A. ما التوتر بين طرفيها؟ - أثبت أن
L / Rمتجانس مع الزمن.
الحلول:
τ = 0.2 / 50 = 0.004 s = 4 ms.I₀ = 6 / 30 = 0.2 A.E_L = 0.5 × 0.2 × 0.5² = 0.025 J.u_L = r × I = 5 × 0.4 = 2 V، لأنdi/dt = 0في النظام الدائم.- وحدة
Lمنu = L di/dtهيV × s / A، ووحدةRمن قانون أوم هيV / A، فـL / Rوحدتهs.
الشرح المصوّر وملفات التمارين
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يشرح الأستاذ عبدو رضوان في فيديو «ثنائي القطب RL من الصفر» الدارة في نحو ست عشرة دقيقة: يذكّر بالدارة وعناصرها، ثم يحدد جهة التيار والتوترات، ويوضح كيف يُوصل راسم الاهتزاز المهبطي للحصول على التوترين.
وللتمرن على مواضيع حقيقية، اطلع على هذه الملفات في الموقع: