المكثفة عنصر كهربائي تتعامل معه في وحدة الظواهر الكهربائية من برنامج الفيزياء، ومنه تنطلق دراسة ثنائي القطب RC كلها. من يفهم ما تخزنه المكثفة وكيف تتغير شحنتها يجد المعادلات التفاضلية التي تأتي بعد ذلك أسهل بكثير. تشرح هذه الصفحة الجزء الأول من الدرس: المكثفة وسعتها، وربط المكثفات، وعمليتا الشحن والتفريغ، وثابت الزمن، ثم أمثلة وتمارين محلولة.
ما هي المكثفة؟
المكثفة عنصر كهربائي قادر على تخزين الشحنات الكهربائية. تتكون من صفيحتين ناقلتين متقابلتين، غالبًا من معدن، تسميان لبوسَي المكثفة، ويفصل بينهما الفراغ أو مادة عازلة كالبلاستيك. ونرمز لها في الدارة بخطين قصيرين متوازيين تفصل بينهما مسافة صغيرة.
عندما توصل المكثفة بمولد، يكتسب اللبوس المتصل بالقطب الموجب شحنة موجبة +q، ويكتسب اللبوس المتصل بالقطب السالب الشحنة المعاكسة −q. وحين نقول «شحنة المكثفة» فنقصد القيمة q لأحد اللبوسين، وليس مجموع الشحنتين الذي يساوي الصفر. أما التوتر بين طرفيها u_C فنرسمه بسهم يتجه نحو اللبوس الموجب.
السعة: العلاقة بين الشحنة والتوتر
كلما غيّرنا الدارة تغيرت شحنة المكثفة وتوترها معًا، لكن النسبة بينهما تبقى ثابتة. هذا الثابت يميز المكثفة وحدها، ويسمى السعة ويرمز له بـ C:
q = C × u_C
تقاس الشحنة q بالكولوم، والتوتر u_C بالفولت، والسعة C بالفاراد ورمزه F. وبما أن الفاراد وحدة كبيرة، تُستعمل في التطبيقات الأجزاء الصغيرة منه: الميكروفاراد µF = 10^(−6) F، والنانوفاراد nF = 10^(−9) F، والبيكوفاراد pF = 10^(−12) F.
والسعة لا تتأثر بما يحيط بالمكثفة من دارة: إضافة ناقل أومي أو حذف المولد لا يغير سعتها. لا تتغير السعة إلا إذا تغيرت المكثفة نفسها، أي مساحة اللبوسين أو المسافة بينهما أو العازل الذي يفصلهما. فكلما كبرت مساحة اللبوسين زادت السعة، وكلما ابتعد اللبوسان نقصت. وللمكثفة المستوية تلخص ذلك العلاقة C = ε × S / d حيث S مساحة اللبوس و d المسافة بين اللبوسين و ε ثابت يميز العازل.
ربط المكثفات
يمكن تعويض عدة مكثفات بمكثفة واحدة مكافئة سعتها C_eq. وقاعدتا الربط عكس ما تعرفه في النواقل الأومية:
- على التسلسل:
1 / C_eq = 1 / C1 + 1 / C2 + ...، أي نجمع المقلوبات. السعة المكافئة أصغر من أصغر سعة في المجموعة. - على التفرع:
C_eq = C1 + C2 + ...، أي نجمع السعات مباشرة. السعة المكافئة أكبر من أكبر سعة في المجموعة.
للتذكر: في المقاومات يُجمع المباشر عند الربط على التسلسل، أما في المكثفات فيُجمع المباشر عند الربط على التفرع.
مثال: مكثفتان سعتاهما 2 µF و 3 µF. على التسلسل C_eq = (2 × 3) / (2 + 3) = 1.2 µF، وعلى التفرع C_eq = 2 + 3 = 5 µF.
الشحن والتفريغ
الشحن. تكون المكثفة فارغة في البداية. إذا وصلناها بمولد نقل هذا المولد الإلكترونات عبر الدارة من اللبوس المتصل بقطبه الموجب إلى اللبوس المتصل بقطبه السالب، لأن الإلكترونات لا تعبر العازل الذي بين اللبوسين. يتراكم الفائض السالب على اللبوس الثاني، ويبقى على الأول نقص في الإلكترونات يعني شحنة موجبة. تستمر العملية إلى أن تبلغ المكثفة شحنتها العظمى، فيتساوى توترها مع توتر المولد.
التفريغ. نزيل المولد ونغلق الدارة على ناقل أومي، فتعيد المكثفة ما خزنته: تسير الإلكترونات في الاتجاه المعاكس عبر الدارة، من اللبوس السالب إلى اللبوس الموجب، حتى تتعادل الشحنتان ويزول التوتر. ولهذا نقول إن المكثفة تلعب دور مولد أثناء التفريغ.
ثنائي القطب RC وثابت الزمن
ثنائي القطب RC دارة تضم ناقلًا أوميًا مقاومته R ومكثفة سعتها C على التسلسل. يتميز بمقدار ثابت يسمى ثابت الزمن:
τ = R × C
يقاس R بالأوم و C بالفاراد فيخرج τ بالثانية. وهو متناسب طرديًا مع المقاومة ومع السعة: كلما زادت إحداهما زاد ثابت الزمن وصارت المكثفة أبطأ في الشحن والتفريغ. ويُعرَّف بطريقتين حسب العملية:
- أثناء الشحن: هو المدة اللازمة لتبلغ شحنة المكثفة نحو 63% من شحنتها العظمى.
- أثناء التفريغ: هو المدة اللازمة لتفقد المكثفة نحو 63% من شحنتها الأولى، فيبقى منها نحو 37%.
وتأتي النسبتان من حل المعادلة التفاضلية الذي ستصل إليه لاحقًا: عند اللحظة t = τ يكون التوتر أثناء الشحن E × (1 − e^(−1)) ≈ 0.63 × E، وأثناء التفريغ E × e^(−1) ≈ 0.37 × E.
التحليل البعدي لثابت الزمن
قد يُطلب منك إثبات أن τ متجانس مع الزمن. من قانون أوم R = U / I، ومن تعريف السعة C = q / U، ومن تعريف شدة التيار q = I × t، فتصبح C = (I × t) / U. وبالجداء:
R × C = (U / I) × (I × t) / U = t
إذن وحدة τ هي وحدة الزمن، أي الثانية.
أمثلة محلولة
مثال 1. مكثفة سعتها 10 µF يبلغ توترها 6 V. شحنتها q = 10 × 10^(−6) × 6 = 6 × 10^(−5) كولوم، أي 60 ميكروكولوم.
مثال 2. ناقل أومي R = 2 kΩ موصول مع مكثفة C = 5 µF. ثابت الزمن τ = 2000 × 5 × 10^(−6) = 10^(−2) s، أي 10 ms.
أخطاء شائعة
- نسيان تحويل السعة إلى الفاراد قبل حساب
τ: إدخال 5 بدل5 × 10^(−6)يعطي نتيجة أكبر بمليون مرة. - جمع السعات عند الربط على التسلسل. الصحيح جمع مقلوباتها.
- الخلط بين 63% و 37% في التفريغ: عند
t = τيبقى 37% من الشحنة لا 63%. - الظن أن السعة تتغير بتغير الدارة. هي صفة للمكثفة وحدها.
- رسم سهم التوتر
u_Cنحو اللبوس السالب بدل الموجب.
تمارين للتدرب
- مكثفة سعتها
22 µFتحت توتر5 V. احسب شحنتها. - مكثفتان سعتاهما
4 µFو12 µF. احسب السعة المكافئة على التسلسل وعلى التفرع. - ناقل أومي
R = 10 kΩومكثفةC = 100 nF. احسبτ. - ماذا يحدث لثابت الزمن إذا ضاعفنا
RوبقيتCثابتة؟ - مكثفة مشحونة كليًا تحت
E = 12 Vبدأت تتفرغ. ما توترها بعد مرورτمن بدء التفريغ؟
الحلول:
q = 22 × 10^(−6) × 5 = 1.1 × 10^(−4)كولوم، أي 110 ميكروكولوم.- على التسلسل
(4 × 12) / (4 + 12) = 3 µF، وعلى التفرع4 + 12 = 16 µF. τ = 10^4 × 10^(−7) = 10^(−3) s = 1 ms.- يتضاعف ثابت الزمن، فيصبح الشحن والتفريغ أبطأ.
u_C = 12 × e^(−1) ≈ 4.4 V.
الشرح المصوّر وملفات المكثفة
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يشرح فيديو «المكثفة وثابت الزمن» من قناة Cours DZ هذا الجزء من الدرس في نحو تسع وعشرين دقيقة.
وللتمرن على مواضيع حقيقية، اطلع على هذه الملفات في الموقع: