التناقص الإشعاعي: قانونه وثابت الزمن وزمن نصف العمر والتأريخ - السنة الثالثة ثانوي

النواة المشعة لا تبقى على حالها: تتفكك بعد زمن لا يعرفه أحد مسبقًا، وتتحول إلى نواة أخرى مع إصدار جسيم أو إشعاع. وإذا كان لا يمكن التنبؤ بمصير نواة واحدة، فإن مصير عدد كبير من الأنوية يخضع لقانون رياضي دقيق. هذه الصفحة تشرح ذلك القانون: كيف تُكتب معادلات التفكك، وماذا يعني ثابت النشاط الإشعاعي وثابت الزمن وزمن نصف العمر، وكيف يُستعمل كل ذلك في تأريخ الأشياء القديمة.

النشاط الإشعاعي وأنواعه

النشاط الإشعاعي تفكك تلقائي لنواة غير مستقرة إلى نواة أخرى مع إصدار جسيم. نرمز للنواة بالعدد الكتلي ⁦A⁩ الذي يمثل عدد النويات، والعدد الشحني ⁦Z⁩ الذي يمثل عدد البروتونات. وأنواع الإصدار التي تدرسها هي:

• الإشعاع ألفا: تصدر النواة نواة هيليوم ⁦⁴₂He⁩.
• الإشعاع بيتا ناقص: يتحول نوترون إلى بروتون وتصدر النواة إلكترونًا ⁦⁰₋₁e⁩.
• الإشعاع بيتا زائد: يتحول بروتون إلى نوترون وتصدر النواة بوزيترونًا ⁦⁰₊₁e⁩.
• الإشعاع غاما: فوتون عالي الطاقة تطلقه النواة الابن حين تعود من حالة مثارة إلى حالة أقل طاقة.

وتخضع كل معادلة تفكك لقانوني الانحفاظ (قانونا صودي): انحفاظ العدد الكتلي وانحفاظ العدد الشحني، أي أن مجموع ⁦A⁩ ومجموع ⁦Z⁩ متساويان في طرفي المعادلة. ومثالان على ذلك:

• ⁦²²⁶₈₈Ra → ²²²₈₆Rn + ⁴₂He⁩: العدد الكتلي ⁦226 = 222 + 4⁩ والعدد الشحني ⁦88 = 86 + 2⁩.
• ⁦¹⁴₆C → ¹⁴₇N + ⁰₋₁e⁩: العدد الكتلي ⁦14 = 14 + 0⁩ والعدد الشحني ⁦6 = 7 − 1⁩.

قانون التناقص الإشعاعي

للتفكك الإشعاعي ثلاث خصائص أساسية: هو تلقائي لا يحتاج إلى مؤثر خارجي، وعشوائي لا يمكن تحديد لحظة تفكك نواة بعينها، وحتمي لأن كل نواة مشعة ستتفكك في النهاية. ولا تتأثر سرعته بالحرارة ولا بالضغط ولا بالحالة الكيميائية للذرة. ولأن سلوك نواة واحدة غير قابل للتنبؤ نعالج الأمر إحصائيًا على عدد كبير من الأنوية، فنحصل على قانون التناقص الإشعاعي:

⁦N(t) = N₀ × e^(−λ×t)⁩

حيث ⁦N(t)⁩ عدد الأنوية المتبقية عند اللحظة ⁦t⁩، و ⁦N₀⁩ عدد الأنوية الابتدائية عند ⁦t = 0⁩، و ⁦λ⁩ ثابت النشاط الإشعاعي ويقاس بـ ⁦s⁻¹⁩، وهو خاصية للنواة نفسها: لكل نظير قيمته التي لا يمكن تغييرها. والمنحنى ⁦N(t)⁩ أسّي متناقص يبدأ من ⁦N₀⁩ ويقترب من الصفر مع مرور الزمن، وكل عينة مشعة تؤول في النهاية إلى الصفر. وعدد الأنوية المتفككة حتى اللحظة ⁦t⁩ هو ⁦N₀ − N(t) = N₀ × (1 − e^(−λ×t))⁩، ومنحناه متزايد نحو ⁦N₀⁩.

أما نشاط العينة فهو عدد التفككات في الثانية: ⁦A(t) = −dN / dt = λ × N(t) = A₀ × e^(−λ×t)⁩، ويقاس بالبكريل ⁦Bq⁩، أي تفكك واحد في الثانية. النشاط إذن يتناقص بالطريقة نفسها التي يتناقص بها عدد الأنوية.

ثابت الزمن وزمن نصف العمر

ثابت الزمن ⁦τ⁩ هو مقلوب ثابت النشاط: ⁦τ = 1 / λ⁩، ويقاس بالثانية. من الناحية البيانية، المماس لمنحنى ⁦N(t)⁩ عند ⁦t = 0⁩ يقطع محور الزمن عند ⁦t = τ⁩. وعند هذه اللحظة يبقى ⁦N(τ) = N₀ × e^(−1) ≈ 0.37 × N₀⁩، أي نحو 37% من الأنوية الابتدائية. وبعد مرور ⁦5τ⁩ يبقى ⁦e^(−5) ≈ 0.0067⁩ من الأنوية، فقد تفكك نحو 99.3% منها، لذلك تعتبر المدة ⁦5τ⁩ الزمن الذي تنتهي فيه العينة عمليًا.

زمن نصف العمر ⁦t½⁩ هو المدة اللازمة لتفكك نصف الأنوية الابتدائية، أي ⁦N(t½) = N₀ / 2⁩. نعوّض في القانون فنجد ⁦e^(−λ×t½) = 1 / 2⁩، وبأخذ اللوغاريتم النيبيري للطرفين نجد ⁦λ × t½ = ln 2⁩، ومنه:

⁦t½ = (ln 2) / λ = τ × ln 2 ≈ 0.693 × τ⁩

وإذا مرت ⁦n⁩ فترات نصف عمر فإن عدد الأنوية المتبقية هو ⁦N = N₀ / 2^n⁩. وبيانيًا نجد ⁦t½⁩ بإسقاط النقطة التي ترتيبها ⁦N₀ / 2⁩ على محور الزمن. وهذا البرهان على العلاقة بين ⁦t½⁩ و ⁦λ⁩ مما يُطلب في التمارين، فلا تكتف بحفظ النتيجة.

التأريخ بالكربون 14

الكائنات الحية تتبادل الكربون مع محيطها، فتحتفظ بنسبة ثابتة من الكربون 14 المشع. وعند موت الكائن يتوقف التبادل، وينقص الكربون 14 في بقاياه وفق قانون التناقص، وزمن نصف عمره نحو 5730 سنة. بقياس النسبة المتبقية يمكن حساب عمر خشب أو عظم قديم.

أمثلة محلولة

مثال 1. نظير زمن نصف عمره 8 أيام. ما النسبة المتبقية بعد 24 يومًا، وبعد 20 يومًا؟ بعد 24 يومًا مرت ثلاث فترات نصف عمر فالنسبة ⁦1 / 2³ = 1 / 8 = 12.5%⁩. وبعد 20 يومًا نحسب ⁦λ = ln 2 / 8 ≈ 0.0866⁩ لكل يوم ثم ⁦N / N₀ = e^(−0.0866 × 20) ≈ 0.177⁩، أي نحو 17.7%. ونجد القيمة نفسها بالكتابة ⁦2^(−20/8) = 2^(−2.5) ≈ 0.177⁩.

مثال 2. قطعة خشب فيها 25% من الكربون 14 الموجود في خشب حي. هذه النسبة تعني فترتي نصف عمر (⁦1/2 × 1/2 = 1/4⁩) فعمرها نحو ⁦2 × 5730 = 11 460⁩ سنة.

مثال 3. إذا بقي 60% من الكربون 14 في عينة، فثابت النشاط ⁦λ = ln 2 / 5730 ≈ 1.21 × 10⁻⁴⁩ لكل سنة، ثم ⁦t = ln(1 / 0.6) / λ ≈ 0.511 / (1.21 × 10⁻⁴) ≈ 4200⁩ سنة تقريبًا.

أخطاء شائعة

• الخلط بين ⁦λ⁩ و ⁦τ⁩. الأولى تقاس بمقلوب الثانية والثانية بالثانية، والعلاقة بينهما ⁦τ = 1 / λ⁩.
• كتابة ⁦t½ = τ⁩. الصحيح ⁦t½ = τ × ln 2⁩، أي أصغر من ⁦τ⁩ بنحو 30%.
• الظن أن العينة تفنى بعد فترتي نصف عمر. بعد فترتين يبقى الربع لا الصفر.
• حساب ⁦λ⁩ بالسنوات واستعمال ⁦t⁩ بالأيام. وحدة الزمن يجب أن تكون واحدة في الحساب كله.
• اعتبار النشاط ⁦A⁩ عدد الأنوية. النشاط معدل التفكك في الثانية، وعلاقته بالعدد ⁦A = λ × N⁩.
• الاعتقاد أن رفع الحرارة يسرّع التفكك. التفكك الإشعاعي لا يتأثر بالشروط الخارجية.

تمارين للتدرب

1. أكمل المعادلتين: ⁦²³⁸₉₂U → ?Th + ⁴₂He⁩ و ⁦¹⁴₆C → ?N + ⁰₋₁e⁩.
2. عينة فيها ⁦N₀ = 4 × 10²⁰⁩ نواة، وثابت نشاطها ⁦λ = 2 × 10⁻³ s⁻¹⁩. احسب ⁦τ⁩ والنشاط الابتدائي ⁦A₀⁩.
3. زمن نصف عمر نظير 12 ساعة. ما النسبة المتبقية بعد 36 ساعة؟
4. ثابت النشاط ⁦λ = 0.1 h⁻¹⁩. ما الزمن اللازم لتبقى 10% من الأنوية؟
5. برهن أن ⁦t½ = τ × ln 2⁩.

الحلول:

1. ⁦²³⁸₉₂U → ²³⁴₉₀Th + ⁴₂He⁩ و ⁦¹⁴₆C → ¹⁴₇N + ⁰₋₁e⁩. نحافظ على ⁦A⁩ و ⁦Z⁩ في طرفي كل معادلة.
2. ⁦τ = 1 / λ = 500 s⁩، و ⁦A₀ = λ × N₀ = 2 × 10⁻³ × 4 × 10²⁰ = 8 × 10¹⁷ Bq⁩.
3. ⁦36 h = 3 × 12 h⁩ أي ثلاث فترات نصف عمر، فالنسبة ⁦1 / 8 = 12.5%⁩.
4. نحل ⁦e^(−0.1 × t) = 0.1⁩ فنجد ⁦t = ln 10 / 0.1 ≈ 23 h⁩.
5. من ⁦e^(−λ×t½) = 1 / 2⁩ نجد ⁦λ × t½ = ln 2⁩، ومنه ⁦t½ = ln 2 / λ = τ × ln 2⁩.

الشرح المصوّر وملفات التمارين

لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يعرض الأستاذ عبد اللطيف في فيديو «التناقص الإشعاعي» الجزء الثاني من الدرس في نحو ثلاثين دقيقة: قانون التناقص ومنحنى الأنوية المتبقية والمتفككة واستخراج الثوابت بيانيًا وحسابيًا.

وللتطبيق على مواضيع حقيقية، اطلع على ملفات التمارين في الموقع:

• فيزياء 3AS: التحولات النووية: حلول تمارين الكتاب المدرسي من 8 إلى 24
• سلسلة تمارين مع الحلول لوحدة التحولات النووية في الفيزياء للاستاذ ملكي علي
• تمارين حول التحولات النووية في العلوم الفيزيائية