لماذا لا يسقط القمر الصناعي على الأرض، وكيف يبقى دائرًا حولها سنوات؟ جواب هذا السؤال هو موضوع هذه الصفحة، وهي أول درس من وحدة الميكانيك في برنامج السنة الثالثة ثانوي. والوحدة عمومًا فيها معلومات وأفكار كثيرة، لكنها ليست صعبة إذا فهمت الأساس: قوة واحدة، هي الجاذبية، تحدد حركة الكواكب والأقمار. تعرض الصفحة قانون الجذب العام وقوانين كبلر، ثم تدرس الحركة الدائرية المنتظمة لقمر صناعي، ثم القمر المستقر بالنسبة للأرض، ثم أمثلة عددية وأخطاء متكررة وتمارين محلولة.
قانون الجذب العام
كل جسمين كتلتاهما m₁ و m₂ والمسافة بين مركزيهما r يتجاذبان بقوتين متساويتين في الشدة ومتعاكستين في الاتجاه، شدتهما:
F = G × m₁ × m₂ / r²
حيث G = 6.67 × 10⁻¹¹ N·m²·kg⁻² ثابت الجذب العام. وحامل القوة هو المستقيم الذي يصل مركزي الجسمين. وبما أن الأرض كروية متجانسة تقريبًا فإن قوة جذبها لجسم كتلته m على بعد r من مركزها هي F = G × M × m / r²، وعند السطح تعطي g = G × M / R² حيث R نصف قطر الأرض.
قوانين كبلر
وضع كبلر ثلاثة قوانين لحركة الكواكب حول الشمس، تنطبق أيضًا على الأقمار حول كوكبها:
- قانون المسارات: مسار كل كوكب في معلم مركزه الشمس (المعلم المركزي الشمسي) هو قطع ناقص تقع الشمس في أحد محرقيه.
- قانون المساحات: القطعة التي تصل مركز الشمس بمركز الكوكب تمسح مساحات متساوية في أزمنة متساوية. ونستنتج أن سرعة الكوكب أكبر حين يكون أقرب ما يمكن من الشمس وأصغر حين يكون أبعد ما يمكن.
- قانون الأدوار: النسبة
T² / a³ثابتة لجميع الكواكب التي تدور حول الشمس، حيثTدور الكوكب وaنصف المحور الأكبر لمساره. وفي المسار الدائري يصيرa = rنصف قطر المسار.
الحركة الدائرية المنتظمة لقمر صناعي
نعتبر قمرًا صناعيًا كتلته m يدور حول الأرض في مدار دائري على ارتفاع h من سطحها. ندرس حركته في المعلم المركزي الأرضي الذي نعتبره غاليليًا، ونفترض أن القوة الوحيدة المؤثرة هي جاذبية الأرض، فنطبق القانون الثاني لنيوتن. نضع r = R + h نصف قطر المدار.
القوة موجهة نحو مركز الأرض فيكون التسارع أيضًا مركزيًا:
a = G × M / r²
وبما أن الحركة دائرية فإن a = v² / r، ومنه:
v = √(G × M / r)
ونلاحظ أن السرعة لا تتعلق بكتلة القمر m لأنها تُختصر من الطرفين. وتتناقص السرعة كلما ارتفع القمر. والحركة دائرية منتظمة، فسرعتها ثابتة المقدار.
ودور الحركة هو المدة التي يتم فيها القمر دورة كاملة:
T = 2π r / v = 2π √(r³ / (G × M))
ومنه نصل إلى قانون كبلر الثالث في الحالة الدائرية: T² / r³ = 4π² / (G × M)، وهي نسبة لا تتعلق إلا بالجسم المركزي.
القمر المستقر بالنسبة للأرض
القمر الأرضي المستقر (الثابت بالنسبة لسطح الأرض) يبدو ساكنًا لمن يراقبه من الأرض، وتستعمله الاتصالات والبث التلفزيوني. ولكي يكون كذلك يجب أن تتحقق ثلاثة شروط معًا:
- مداره في المستوي الاستوائي للأرض، لأن مستوي أي مدار يمر حتمًا بمركز الأرض ولا يوجد غير مستوي الاستواء يبقى فوق نقطة ثابتة.
- يدور في جهة دوران الأرض نفسها حول محورها.
- دوره يساوي دور دوران الأرض حول نفسها، أي نحو 24 ساعة (23 س و 56 د بدقة).
أمثلة عددية
المعطيات: كتلة الأرض M = 5.97 × 10²⁴ kg ونصف قطرها R = 6.37 × 10⁶ m، وبالتالي G × M = 3.98 × 10¹⁴ SI.
مثال 1: قمر على ارتفاع 400 km. نصف قطر المدار r = 6.37 × 10⁶ + 4.00 × 10⁵ = 6.77 × 10⁶ m. السرعة v = √(3.98 × 10¹⁴ / 6.77 × 10⁶) ≈ 7.67 × 10³ m/s، أي نحو 7.7 km في الثانية. والدور T = 2π r / v ≈ 5.55 × 10³ s، أي نحو 92.5 دقيقة.
مثال 2: ارتفاع القمر المستقر. نحسب r من قانون كبلر الثالث: r³ = G × M × T² / (4π²) مع T = 86164 s. نجد r ≈ 4.22 × 10⁷ m، فالارتفاع h = r − R ≈ 3.58 × 10⁷ m، أي نحو 36 ألف كيلومتر فوق سطح الأرض.
أخطاء شائعة
- استعمال
Rنصف قطر الأرض بدلr = R + hفي قانون الجذب أو في السرعة. - نسيان تحويل الارتفاع من الكيلومتر إلى المتر قبل التعويض.
- القول إن سرعة القمر تتعلق بكتلته. السرعة لا تتعلق بكتلة القمر، بل بكتلة الجسم المركزي ونصف قطر المدار.
- القول إن القمر في حالة انعدام وزن لأن لا قوة تؤثر فيه. الجاذبية هي التي تؤثر فيه وهي سبب بقائه في المدار، لكنه في حالة سقوط حر دائم.
- إهمال تحديد المعلم المناسب (مركزي أرضي للأقمار، ومركزي شمسي للكواكب).
- الخلط بين قانون كبلر الثاني والثالث. الثاني عن المساحات والسرعة في المسار الواحد، والثالث عن مقارنة أدوار كواكب مختلفة.
تمارين للتدرب
- احسب قوة الجذب بين الأرض والقمر علمًا أن
M_E = 5.97 × 10²⁴ kgوM_L = 7.35 × 10²² kgوالمسافة3.84 × 10⁸ m. - بيّن أن سرعة قمر صناعي في مدار دائري لا تتعلق بكتلته.
- احسب سرعة قمر صناعي على ارتفاع 800 km.
- كوكب المريخ نصف محور مداره
1.52وحدة فلكية. استنتج دوره بالسنوات بدلالة دور الأرض (سنة واحدة وحدة فلكية واحدة). - لماذا لا يكون القمر المستقر إلا فوق خط الاستواء؟
الحلول:
F = 6.67 × 10⁻¹¹ × 5.97 × 10²⁴ × 7.35 × 10²² / (3.84 × 10⁸)² ≈ 2.0 × 10²⁰ N.- من
m a = G M m / r²تُختصرmفنجدa = G M / r²ثمv = √(G M / r). r = 6.37 × 10⁶ + 8.0 × 10⁵ = 7.17 × 10⁶ m، وv = √(3.98 × 10¹⁴ / 7.17 × 10⁶) ≈ 7.45 × 10³ m/s.- قانون كبلر الثالث
T² / a³ثابت:T² = 1.52³ × 1² ≈ 3.51، إذنT ≈ 1.87سنة. - لأن مستوي المدار يمر بمركز الأرض، ولا تبقى النقطة الأرضية ثابتة تحت القمر إلا إذا كانت على الدائرة التي تمثل تقاطع هذا المستوي مع سطح الأرض وتدور بالدوران نفسه، وهذه هي دائرة الاستواء.
الشرح المصوّر وملفات التمارين
لمن يفضل المتابعة بالصوت والصورة، يفتتح الأستاذ عبد اللطيف وحدة الميكانيك في فيديو «الميكانيك للسنة 3 ثانوي: حركة كوكب أو قمر صناعي» في نحو ثلاثين دقيقة، فيقدم الوحدة بأنماط الحركة الأربعة التي تدرسها (حركة كوكب، والحركة في المستوي، والسقوط الشاقولي، وحركة قذيفة) ثم يبدأ بحركة الكوكب أو القمر الصناعي.
وللتمرن على مواضيع حقيقية، اطلع على هذه الملفات في الموقع: